《9.3.1 用平方差公式因式分解》教学课件

9.3

公式法第九章

因式分解

授课人：1.用平方差公式分解12能正确识别适合运用平方差公式因式分解的多项式，会运用平方差公式因式分解（指数是正整数）．掌握运用平方差公式因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值．学习目标因式分解与整式乘法有什么关系？知识回顾a(b＋c＋d)ab＋ac＋ad整式乘法和积因式分解是过程相反的变形．我们学习了哪些乘法公式？知识回顾平方差公式：完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2如果把上述公式反过来，(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2是因式分解吗？和积概念引入

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法．a2－b2＝(a＋b)(a－b)公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2尝试交流1.填空：a2－16＝a2－()2＝(a＋____)(a－____)；64－b2＝

()2－b2＝(____＋b)(____－b)；

4m2－9n2＝()2－()2＝(____＋____)(____－____)．4448882m3n2m3n2m3n观察这些式子在结构上有哪些共同特征？左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．□2－△2(□－△)(□＋△)尝试交流2.判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式．(1)a2－16；

(2)－x2－1；(3)64－b；

(4)－25a2＋49b2．两项符号相反两项都能用完全平方表示＝49b2－25a2＝(7b)2－(5a)2典例分析例1

把下列各式分解因式：(1)36－25x2

；(2)16a2－9b2

；

解：(1)36－25x2

＝62－(5x)2

＝(6＋5x)(6－5x)；(2)16a2－9b2

＝(4a)2－(3b)2

＝(4a＋3b)(4a－3b)；方法总结用平方差公式因式分解的一般步骤：1.变形：化成(□)2－(△)2的形式；2.分解：分解成(□－△)(□＋△)的形式.典例分析(3)9(a＋b)2－4(a－b)2

．

例1

把下列各式分解因式：解：(3)9(a＋b)2－4(a－b)2

＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2

＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]

＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b)

＝(5a＋b)(a＋5b)．[]内看成一个整体．方法总结用平方差公式因式分解的一般步骤：3.化简：分解后，结果要化为最简形式．新知巩固1．把下列各式分解因式：(1)x2－25；(2)x2－16y2；

解：原式＝(x＋5)(x－5)；原式＝(x＋4y)(x－4y)；

原式＝(xy＋z)(xy－z)；原式＝(x＋5)(x－1)；原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)．(5)(x＋2)2－9；(6)(x＋a)2－(y－b)2．新知巩固2．计算：(1)7582－2582；(2)4292－1712．

解：(1)7582－2582

＝[758＋258][758－258]

＝1016×500

＝508000；(2)4292－1712＝[429＋171][429－171]＝600×258＝154800．典例分析例2

如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m,求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）．解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r)当R＝12.5m，r＝7.5

m时，S＝π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5)

＝π×20×5＝100π≈314(m3)．典例分析例3

已知k是正整数，求证:(k＋2)2－k2是4的倍数．证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)，∵k是正整数，∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数，∴(k＋2)2－k2是4的倍数．典例分析变式

证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为(x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2．∵(x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)，∴两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．新知巩固1.如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

a2＋b2＝c2，∴b2＝c2－a2

＝252－242

＝(25＋24)(25－24)

＝49，∴b＝7．ABCabc新知巩固2.已知a＞b＞0，求证：a2＞b2．证法1：∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，∴a2＞b2．证法2：∵a＞b＞0，∴a2＞ab，ab＞b2，根据不等式的传递性，可得∴a2＞b2.思维提升1.已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2－

(3m－n)2的值．解：

(m＋2n)2－

(3m－n)2

＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)]

＝(4m＋n)(－2m＋3n)∵4m＋n＝90，2m－3n＝10，∴原式＝90×(－10)＝－900．思维提升解：16x2－4＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)2.判断下列做法是否正确，如有错误，请改正．分解因式16x2－4．解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出．原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(