专项突破：一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题（A题型）（原卷版）

专题一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、一次函数中的规律探究问题 1题型二、一次函数中求线段和最值问题 6题型三、一次函数中直线平移的综合问题 14题型四、一次函数中分段函数探究问题 21题型五、一次函数中的新定义型综合问题 26B综合攻坚・能力跃升题型一、一次函数中的规律探究问题1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________．2．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______．3．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______．4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______．题型二、一次函数中求线段和最值问题5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______．6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______．7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】（1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值．【问题解决】（2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm）8．（2021·江苏常州·二模）阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解．小亮：对称和平移还可以有不同的组合…【尝试解决】在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【灵活运用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________．题型三、一次函数中直线平移的综合问题9．（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B．(1)求线段的长；(2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积；(3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；（2）【深入探究】①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____；②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）[问题情境]老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式．小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式．在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证：[解决问题](1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________；(2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线；(3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式．(4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式．12．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动．(1)请你完成探究活动中的相关问题．①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________；②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象；③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．(2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到；(3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．(4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹）题型四、一次函数中分段函数探究问题13.小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．(1)函数的自变量的取值范围是___________．(2)下表是与的几组对应值：

012313写出表中的值；(3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)；②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________．14.探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：(1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．x…01234…y…01234321a…表格中a的值为________；(2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象；(3)结合图象回答下列问题：①函数的最大值为________；②写出该函数的一条性质________．15．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整：(1)列表：x…0123…y…b1012…其中，______；(2)描点并连线；在下面平面直角坐标系中画出函数的图象；(3)根据图象直接写出函数图象的两条性质．题型五、一次函数中的新定义型综合问题16．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为．【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”．【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．①，②点E关于直线的“7字形距离”为．【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D．①求；②求点B关于直线的“7字形距离”．【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出．18．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩