小学数学第八章　§8.2　立体图形的直观图

§8.2立体图形的直观图学习目标1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系.一、水平放置的平面图形的直观图的画法问题1我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？知识梳理用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图.反思感悟画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定平面直角坐标系(注意一般要使平面多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上)，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系.(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在坐标轴上或在与坐标轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与坐标轴平行的线段，将此点转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1如图所示，在△ABC中，BC=8，BC边上的高AD=6，试用斜二测画法画出其直观图.二、直观图的还原与计算例2(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.(2)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，C'A'=2，B'D'∥y'轴且B'D'=1.5.①将其恢复成原图形；②求原平面图形△ABC的面积.延伸探究若一个三角形的原图形的面积为S，则其直观图的面积S'为多少？反思感悟(1)直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.(2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=24S原跟踪训练2(1)如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A'B'C'D'，A'D'∥y'轴，A'B'∥C'D'∥x'轴，则原四边形ABCD的面积是()A.14 B.102 C.28 D.142(2)如图所示，矩形O'A'B'C'是由斜二测画法得到的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，则四边形OABC的形状是.三、空间几何体的直观图的画法问题2我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？知识梳理1.立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的和都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为.2.圆柱的直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=.(2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'.(4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图.3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的母线.4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的，它们的直观图是椭圆.例3画出正四棱锥的直观图.反思感悟画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致.(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴.此例题也可以以AC，BD所在直线为x，y轴，从而使底面的四个顶点均落在坐标轴上.跟踪训练3已知某几何体分为上、下两部分，上部分是圆锥，下部分是圆台，圆台的下底面与圆锥的底面重合，请用斜二测画法画出该几何体的直观图.1.知识清单：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.(2)直观图的还原与计算.(3)空间几何体的直观图的画法.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形2.若利用斜二测画法画一个高为10cm的圆柱，则圆柱的高应()A.平行于z轴且长度为10cmB.平行于z轴且长度为5cmC.与z轴成45°且长度为10cmD.与z轴成45°且长度为5cm3.如图所示是水平放置的△ABC的直观图，其中A'O'=B'O'=C'O'=1，则原△ABC是一个()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是.

答案精析问题1在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示，当两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四边形了.知识梳理45°135°水平面x'轴或y'轴的线段保持原长度不变一半例1解(1)如图①，以平行于CD的直线为x轴，过点A且垂直于CD的直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，CD与y轴交于点F，再建立如图②所示的平面坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'=45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系O'x'y'中作O'H'=OH，O'G'=OG，O'A'=12OAO'F'=12OF.过F'作C'D'∥x'轴且C'D'=CD，C'F'=F'D'(3)在平面坐标系O'x'y'中，过G'作G'B'∥y'轴，且G'B'=12GB，过H'作H'E'∥y'轴，且H'E'=12HE.连接A'B'，B'C'，D'E'，E'A'，擦去辅助线，得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE水平放置的直观图，如图跟踪训练1解(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系Oxy，再建立如图②所示的坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'=45°.(2)在坐标系O'x'y'中，在x'轴上截取O'B'=OB，O'C'=OC；在y'轴上截取O'A'，使O'A'=12OA(3)连接A'B'，C'A'，擦去辅助线，得到△A'B'C'，即为△ABC的直观图(如图③所示).例2(1)D(2)解①画法：(ⅰ)画平面直角坐标系Oxy，在x轴上取OA=O'A'，即CA=C'A'.(ⅱ)在x轴上取OD=O'D'，过D作BD∥y轴，并使BD=2B'D'.(ⅲ)连接AB，BC，则△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图.②∵B'D'∥y'轴，∴BD⊥AC.又B'D'=1.5且C'A'=2，∴BD=3，CA=2.∴S△ABC=12BD·CA=3延伸探究解设原图形的高为h，则直观图的高为24h.又平行于x轴的线段长度不变，所以S'=24跟踪训练2(1)C(2)菱形问题2先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.知识梳理1.(3)平行性长度(4)虚线2.(1)90°(3)母线长3.底面两条4.截面圆例3解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.画出正方形的直观图ABCD，使AB，CD平行于x轴，AD，BC平行于y轴，且AD=BC=12AB=12CD，O为正方形ABCD的中心，如图(3)画顶点.在z轴上截取OP，使OP的长度是原正四棱锥的高，如图②.(4)成图.连接PA，PB，PC，PD，如图③，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到正四棱锥的直观图，如图④.跟踪训练3解(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2