小学数学第八章　§8.4　8.4.1　平　面

§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学习目标1.了解平面的概念，理解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用规范的语言表达.2.了解三个基本事实和三个推论.3.理解平面的特点和基本性质.4.共线、共面、共点问题的证明与判断.一、平面的概念及基本性质1.平面的画法及表示画法平面水平放置平面竖直放置表示①平行四边形的四个顶点：平面；②相对的两个顶点：平面或平面；③希腊字母：平面，平面，平面

2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示文字语言符号语言点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l不在平面α内平面α，β相交于直线l3.基本事实的表示基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在平面α使A，B，C∈α

基本事实2如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒

基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l4.三个推论的表示推论文字语言图形语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面例1(1)(多选)下列说法正确的是()A.我们通常画出平面的一部分表示平面B.平面是无限延展的C.平面的形状是平行四边形D.一个平面的厚度可以是0.001cm(2)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.①A∉α，a⊂α：；②α∩β=a，P∉α且P∉β：；③a⊄α，a∩α=A：；④α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O：.反思感悟三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示.跟踪训练1用符号和图形表示下列语句：(1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与β的交线；(2)两条相交直线a和b都在平面α内；(3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M.二、点、线共面问题例2已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面.延伸探究在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？反思感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪训练2如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.三、点共线问题例3如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上.反思感悟证明三点共线的方法跟踪训练3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.四、线共点问题例4如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点.跟踪训练4在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证：EF，GH，BD相交于一点.五、平面的交线问题例5如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.反思感悟找两个平面交线的突破口由基本事实3知，找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.跟踪训练5如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.1.知识清单：(1)平面的概念及基本性质.(2)点、线共面问题.(3)点共线问题.(4)线共点问题.(5)平面的交线问题.2.方法归纳：纳入法、重合法、归纳法.3.常见误区：三种语言的相互转换、平面的交线找不准.1.下列图形中，满足α∩β=AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB的图形是()2.已知空间中有四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面面积可以为4cm24.(多选)若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形

答案精析知识梳理1.ABCDACBDαβγ2.A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂αl⊄αα∩β=l3.有且只有唯一的两个点这个平面内l⊂α公共直线例1(1)AB(2)①C②D③A④B跟踪训练1解(1)符号表示为：A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β=AB.图形表示如图①.(2)符号表示为：a∩b=P，a⊂α，b⊂α.图形表示如图②.(3)符号表示为：a⊂α，b⊄α，a∩b=M.图形表示如图③.例2证明∵b∥c，∴b，c可确定一个平面α，设a∩b=A，a∩c=B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，∴a⊂α，∴直线a，b，c共面.延伸探究证明如图所示.∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.又l∩a=A，l∩b=B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的，平面α和β重合.∴直线a，b，c，l共面.跟踪训练2证明方法一(纳入法)∵l1∩l2=A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B，∴B∈l2.又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(重合法)∵l1∩l2=A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.例3证明方法一由AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α=P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点.∵平面ABC∩α=l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点在同一条直线上.方法二∵AP∩AR=A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P，AC∩α=R，∴平面APR∩α=PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点在同一条直线上.跟踪训练3证明∵MN∩EF=Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.例4证明如图，连接PQ.由B1P=2PA1，C1Q=2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ=13B1C1又BC綉B1C1，∴PQ∥BC，且PQ=13BC∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点.跟踪训练4证明如图所示，连接GE，HF.∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.又DF∶FC=DH∶HA=1∶3，∴HF∥AC，∴GE∥HF，∴G，E，F，H四点共面.又GE=12AC，HFAC=DFDC∴EF与GH不平行，∴EF与GH相交.延长EF，GH，设交点为O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，∴O∈BD.即EF，GH，BD相交于一点.例5解方法一延长D1E交DA的延长线于点M，连接CM交AB于点F，连接EF，∵M∈D1E，D1E⊂平面D1CE，∴平面D1CM即为过点D1，C，E的平面，易知CM∩AB=F，AB⊂平面ABB1A1，CM⊂平面D1CM，∴F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CM，∴F为两平面公共点，又E也为两平面的公共点，∴EF为过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.方法二如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF和CD1共面，即E，F，C，D1四点共面.∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.∴过D1，C，E的平面与平