小学数学第八章　§8.6　习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法

习题课异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法学习目标1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的概念及求法.一、异面直线所成的角例1已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为6，PO=42，OA，OB是底面半径，且OA⊥OB，M为线段AB的中点，如图所示.求异面直线PM与OB所成角的余弦值.跟踪训练1如图，已知在三棱锥A-BCD中，AD=1，BC=3，且AD⊥BC，BD=132，AC=32，求异面直线AC与BD二、直线与平面所成的角例2如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB=BC=2，∠CBD=45°，则直线BD与平面ACD所成角的大小为.

跟踪训练2如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，M是AB的中点，AC=CB=CC1=2.(1)证明：直线CM⊥平面AA1B1B；(2)求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小.三、折叠问题例3如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2.(1)求证：BC⊥平面A1CD；(2)当AD的长为多少时，异面直线DE，A1B所成的角最小？求出此时所成角的余弦值.反思感悟折叠问题在空间几何中主要看折叠前后哪些量保持不变，哪些量发生改变.跟踪训练3如图1，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起到△BPD的位置，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上，如图2.(1)求证：PB⊥平面PAD；(2)求点A到平面BPD的距离；(3)求直线AB与平面PBD所成角的正弦值.1.知识清单：(1)异面直线所成的角.(2)直线与平面所成的角.(3)折叠问题.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角.1.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线D'A与BB'所成的角可以表示为()A.∠DD'AB.∠AD'C'C.∠ADB'D.∠DAD'2.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A'-DEF，则HG与IJ所成角的大小为()A.90° B.60°C.45° D.0°3.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC=30°，PA=AB，则直线PC和平面ABC所成角的正切值为.

4.如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=1，BC=2.则OA与平面α所成角的大小为.

答案精析例1解如图，取OA的中点N，连接PN，MN，OM，因为N为OA的中点，M为AB的中点，所以MN∥OB，于是∠PMN(或其补角)是异面直线PM与OB所成的角.因为M为AB的中点，OA=OB=2，且OA⊥OB，则OM=12AB=2又PN=ON2=33，PM=OM2=34，所以cos∠PMN=P=34+1-33234=则异面直线PM与OB所成角的余弦值为3434跟踪训练1解取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG.则MG=12BC=3EM=12AD=1因为AD⊥BC，所以EM⊥MG.在Rt△EMG中，EG=1=1.由题图可知，∠EFG(或补角)为异面直线AC与BD所成的角.在△EFG中，因为EF=12BD=134，FG=12AC=34，且EF2+FG2=EG2，所以即AC⊥BD.所以异面直线AC与BD所成的角为90°.例230°解析取AC的中点E，连接BE，DE，由题意知AB⊥平面BCD，而CD⊂平面BCD，故AB⊥CD，由题意得BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，即CD⊥BC，∵AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE，∵AB=BC=2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE=2，又AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，又BD=2BC=22，∴sin∠BDE=BEBD=222∵∠BDE为锐角，∴∠BDE=30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.跟踪训练2(1)证明因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC=CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB=A，所以直线CM⊥平面AA1B1B.(2)解连接A1M，由(1)知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即为直线A1C与平面AA1B1B所成的角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC=CC1=2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=22，因为∠ACB=90°，AC=CB=2，所以∠BAC=45°，CM=2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在Rt△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C=2又因为0°<∠CA1M<90°，所以∠CA1M=30°，即直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小为30°.例3(1)证明在题图2中，因为A1D⊥DE，A1D⊥DC，DE∩DC=D，DE，DC⊂平面BCDE，所以A1D⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，所以A1D⊥BC.又BC⊥DC，A1D∩DC=D，A1D，DC⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD.(2)解连接DB(图略)，设AD=A1D=x，则DC=6-x，0<x<6.由(1)得BC⊥A1C，A1D⊥DB，在Rt△BCD中，DB2=DC2+BC2=(6-x)2+32=x2-12x+45，所以在Rt△A1DB中，A1B=A=x=2x显然，当x=3，即AD=3(或D为AC的中点)时，线段A1B的长取得最小值，最小值是33.因为BC∥ED，所以∠A1BC即为异面直线DE，A1B所成的角，在Rt△A1CB中，cos∠A1BC=BCA1B=3A1因为余弦函数在0，π2上单调递减，所以当cos∠A1BC取最大值33时，∠A综上，当AD=3时，异面直线DE，A1B所成的角最小，此时所成角的余弦值为33跟踪训练3(1)证明∵点P在平面ABD上的射影O在AB上，∴PO⊥平面ABD，DA⊂平面ABD，∴PO⊥DA.又∵AD⊥AB，AB∩PO=O，AB，PO⊂平面ABP，∴DA⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴DA⊥BP.又∵BC⊥CD，∴BP⊥PD.∵DA∩PD=D，DA，PD⊂平面APD，∴BP⊥平面APD.(2)解如图所示，过A作AE⊥PD，垂足为E，连接BE.∵BP⊥平面APD，AE⊂平面APD，∴BP⊥AE，又BP∩PD=P，BP，PD⊂平面BPD，∴AE⊥平面BPD.故AE的长就是点A到平面BPD的距离.又DA⊥平面ABP，AP⊂平面ABP，∴DA⊥AP.在Rt△APB中，AP=AB2-在Rt△BPD中，PD=CD=33.在Rt