课时3分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1课时3分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合

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区别

注意分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点区别注意两个计数原理的异同点都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整分类完成，类类相加分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）A•主卧客卧书房餐厅卫生间情景1：如图是某同学的家庭电路图，如果要使阳台灯亮，你有哪些方法？【问题1】一共有多少条路径可以使阳台灯亮？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数使阳台灯亮从入户开关到点A电路通电，再使点A到阳台灯电路通电类类不容步步相依A•主卧客卧书房餐厅卫生间问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数使阳台灯亮从入户开关到点A电路通电，再使点A到阳台灯电路通电类类不容步步相依A•主卧客卧书房餐厅卫生间【问题2】如果变成下图这样，一共有多少条路径可以使阳台灯亮？A•主卧客卧书房餐厅卫生间【问题3】如果需要检查家庭电路是否有问题，应该如何开展工作？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数使家庭电路处处通电使每个房间均通电，再使房间之间的电路通电类类不容步步相依该家庭电路有问题吗？情景2：计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.（1）左图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？（2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数研究从开始到结束的执行路径从开始执行到A点，再从A点执行到结束类类不容步步相依问题1：这个程序模块有多少条执行路径？【问题2】要减少测试次数，可以如何执行这个程序？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数用较少的次数测试执行路径分别测试每个模块的执行路径，再测试模块之间的执行路径类类不容步步相依18+45+28+38+43+3×2=178

情景3：

腾讯QQ的发展史：1999年2月正式推出的第一个即时通信软件，用户由最初的2人到现在已经发展上亿用户了，QQ号由最初的5位、6位、7位数字发展到现在的11位、12位，为什么QQ号越来越长了？（1）你知道QQ号9位的用户最多有多少人吗？（QQ号由首位不为0的数字组成）问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数研究9位QQ号个数从10个阿拉伯数字中选9位数字编号（首位不能为0）类类不容步步相依9×10×10×10×10×10×10×10×10=900000000

情景3：腾讯QQ的发展史：1999年2月正式推出的第一个即时通信软件，用户由最初的2人到现在已经发展上亿用户了，QQ号由最初的5位、6位、7位数字发展到现在的11位、12位，为什么QQ号越来越长了？你知道QQ号9位的用户最多有多少人吗？（QQ号由首位不为0的数字组成）问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数研究9位QQ号个数从10个阿拉伯数字中选9位数字编号（首位不能为0）类类不容步步相依9×10×10×10×10×10×10×10×10=900000000（2）如果想增加QQ号9位的用户，你还有什么办法吗？

情景4：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？问题分析具体问题要做一件什么事情怎么去做这件事情每类能否单独完成每步能否单独完成如何计数确定发放汽车号牌的张数类类不容步步相依10个阿拉伯数字和除O，之外的24个英文字母（最多两个英文字母）中选5位序号编码当没有字母时号牌张数为10×10×10×10×10=100000当有1个字母时号牌张数为5×24×10×10×10×10=1200000当有2个字母时号牌张数为10×24×24×10×10×10=5760000汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000【方法归纳】

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.

分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.

分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰