小学数学第八章　8.6.3　第2课时　平面与平面垂直的性质定理

第2课时平面与平面垂直的性质定理学习目标1.探究、发现平面与平面垂直的性质定理.2.平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.一、平面与平面垂直性质定理的应用问题黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？知识梳理面面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面

符号语言α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β

图形语言简记面面垂直，则线面垂直例1如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.反思感悟应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤：面面垂直线面垂直→线线垂直.(2)应用类型：面面垂直的性质定理得到的结论是线面垂直，所以该定理主要应用于以下两个方面：①证明线面垂直，进而可以再证明线线垂直；②通过作交线的垂线，找到点在平面内的射影，从而作直线与平面所成的角或二面角的平面角.提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.跟踪训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，PA=AB，E，F分别为PC，PB的中点.证明：平面DEF⊥平面PBC.二、垂直关系的相互转化例2(多选)已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是()A.若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βB.若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥mC.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD.若m⊂α，n⊥β，α∥β，则m⊥n跟踪训练2若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ三、线面垂直与面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，CD=2AB，E为PC的中点.(1)求证：PA⊥BC；(2)求证：平面PBC⊥平面PCD.反思感悟空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.1.知识清单：(1)垂直关系的相互转化.(2)平面与平面垂直性质定理.(3)有关垂直的综合问题.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：由面面垂直找线面垂直时，未先找交线.1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1()A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直2.(多选)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A.CD⊥平面ABDB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面ADC3.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是()A.30° B.45°C.60° D.75°4.如图所示，平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，点C∈平面β，若AB=3，BC=4，则AC=.

答案精析问题找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面.知识梳理垂直交线垂直a⊂αa⊥l例1证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.跟踪训练1证明因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，所以CB⊥平面PAB，因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB，因为PB⊂平面PAB，所以EF⊥PB，连接AF(图略)，因为EF∥CB∥AD，所以A，D，E，F四点共面，因为PA=AB，所以PB⊥AF，因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面DEF，所以PB⊥平面DEF，因为PB⊂平面PBC，所以平面DEF⊥平面PBC.例2CD跟踪训练2C例3证明(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.(2)设F为PD的中点，连接AF，EF，如图，因为E为PC的中点，则EF綉12CD，又AB綉12CD，所以EF綉AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE因为PA=AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB=90°，所以AB⊥AD，又PA⊥AB，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，又AF⊂平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF=F，PD，EF⊂平面PCD，所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PCD.又因为BE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.跟踪训练3解(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，DE⊂平面ADB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE=3，EC=1.在Rt△DEC中，CD=DE2(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB