小学数学第八章　周末练9　章末检测试卷三(第八章)

周末练9章末检测试卷三(第八章)分值：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.以下结论正确的有A.侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为四棱台C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形2.我国古代《九章算术》里记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为A.13.25立方丈 B.26.5立方丈C.53立方丈 D.106立方丈3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么原三角形ABCA.3 B.22C.32 D.4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为A.100π B.120πC.150π D.300π5.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=2，若球O的表面积为4π，则SA等于A.22C.2 D.36.PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是A.12 B.C.33 D.7.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为A.452 B.C.45 D.4538.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=1，则二面角A1-BD-C1的平面角的余弦值为A.-79 B.-C.19 D.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，若直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列结论正确的是A.AB∥m B.AC⊥mC.AB∥β D.AC⊥β10.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，AD=1，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是A.BE⊥DEB.DE⊥平面BCEC.平面BCE⊥平面ADED.若从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为52，则该圆柱体的侧面积是1411.如图(1)所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=6，∠CAD=30°，CD⊥AC，如图(2)所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD，下列说法正确的是A.AB⊥平面BCDB.BD与平面ACD所成角的正弦值为70C.三棱锥B-ACD外接球的表面积为16πD.点C到平面ABD的距离为15三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱(尺寸单位：cm)，则这种零件的表面积为cm2.

13.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为.

14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.则以A1D1的中点为球心，6为半径的球面与侧面B1BCC1的交线长为.

四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点.(1)求证：直线BF∥平面AD1E；(6分)(2)求异面直线BF与D1E所成角的余弦值的大小.(7分)16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2，BC=3，PC=23，BE∶EP=1∶2，CF=2，CD⊥BC.(1)证明：平面AEF∥平面PCD；(8分)(2)求三棱锥E-PCD的体积.(7分)17.(15分)在如图所示的四棱锥F-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，FC⊥平面ABCD，CB=CD=CF=1.(1)求证：平面ACF⊥平面BCF；(6分)(2)若E为CF的中点，问线段AB上是否存在点G，使得EG∥平面ADF？若存在，请说出AG的长，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(9分)18.(17分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且∠ABC=90°，侧面AA1B1B是菱形，∠A1AB=60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，点M是AA1的中点.(1)求证：BB1⊥CM；(8分)(2)求直线BM与平面CMB1所成角的正弦值.(9分)19.(17分)如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，AE∥CD，AE=BE=2CD=2，CE=3.G为AB的中点，将四边形AECD沿AE折起，使得BC=3，得到如图2所示的几何体.(1)证明：DG⊥平面ABE；(7分)(2)若F为BE上靠近B点的三等分点，求二面角D-AF-B的平面角的余弦值.(10分)答案精析1.D2.B3.A4.A5.B6.C[构造正方体如图所示，连接AB，CA，CB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，在正四面体CABP中，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于点D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角.设PC=a，则PD=32a故PO=23PD=33故cos∠CPO=POPC=337.A[如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，且SG∩BG=G，SG，BG⊂平面SGB，故AC⊥平面SGB，又SB⊂平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH=HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF12ACDE所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S=HF·HD=12AC·12SB=458.A[取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1B，A1D，C1B，C1D，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=1，所以A1B=A1D，C1B=C1D，所以A1O⊥BD，C1O⊥BD，所以∠A1OC1即为二面角A1-BD-C1的平面角，连接A1C1，AC，则O为AC中点，因为AO=CO=22，AA1=CC1=1，所以A1O=C1O=3，又因为A1C1=42，在△A1OC1中，cos∠A1OC1=A=9+9-322×3所以二面角A1-BD-C1的平面角的余弦值为-79.9.ABC10.ACD[由AB是底面圆的直径，知∠AEB=90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥平面AEB，BC⊥平面AEB.又BE⊂平面AEB，∴AD⊥BE，又AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∵DE⊂平面ADE，∴BE⊥DE.又BE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.可得A，C正确；若DE⊥平面BCE，则DE⊥BC，显然不成立，B错误；对于选项D，作出该圆柱体的侧面展开图(图略)可知，侧面展开图中的线段BD即为从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的最短路径，∴底面半圆周的长度为(52)∴该圆柱体的侧面积S=7×2×1=14，D正确.]11.AC[∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，△ACD为直角三角形，CD⊥AC，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵△ABC为直角三角形，AB⊥BC，CD，BC⊂平面BCD，CD∩BC=C，∴AB⊥平面BCD，故选项A正确；取AC的中点E，连接BE，DE，∵AB=BC=6，∴BE⊥AC，∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面ACD，∠BDE即为BD与平面ADC所成的角，∵AB=BC=6，∠ABC=90°，∠CAD=30°，∴BE=3，CD=2，DE=7，BD=10，∴sin∠BDE=BEBD=310=即BD与平面ACD所成角的正弦值为3010故选项B错误；取AD的中点F，连接EF，则EF∥CD，又CD⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，易知E为△ABC的外心，则三棱锥B-ACD的外接球球心在直线EF上，又∠ACD=90°，则F为△ACD的外心，∴F为三棱锥B-ACD的外接球球心，∴外接球半径R=AF=12AD12AC2则三棱锥B-ACD外接球表面积S=4πR2=16π，故选项C正确；由于AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，∴平面BCD⊥平面ABD，过点C作CH⊥BD于H，∴CH⊥平面ABD，∴CH即为点C到平面ABD的距离，∵CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC，在Rt△BCD中，∵BC=6，CD=2，BD=10，∴CH=6×210点C到平面ABD的距离为215故选项D错误.]12.4323+360+150π13.π解析如图，取AD的中点G，分别连接FG，EG，AF，则AC∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG(或其补角)就是异面直线EF与AC所成的角.设AD=2，则AE=GD=DF=1，AF=22+1因为PA⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，则AE⊥AF，则EF=AE2+EG=FG=12+1在△EFG中，由余弦定理得cos∠EFG=EF2+又0<∠EFG<π，所以∠EFG=π6，故异面直线EF与AC所成的角为π14.2解析取BB1的中点E，CC1的中点F，B1C1的中点G，A1D1的中点O，由题意可得，A1E=D1F=22+1=OE=OF=(5)2在平面B1BCC1内取一点P，使得GP=2，则OP=22+(2且GE=GF=2，所以以A1D1的中点为球心，6为半径的球面与侧面B1BCC1的交线是以G为圆心，2为半径的圆弧EPF，且∠B1GE=∠C1GF=45°，则∠EGF=90°，则圆弧EPF的长为14×2π×2=215.(1)证明取DD1的中点M，连接BM，MF，则MF∥AD1，由于MF⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，故MF∥平面AD1E，由于D1M∥BE，D1M=BE=12DD1故四边形D1MBE为平行四边形，则BM∥D1E，又BM⊄平面AD1E，D1E⊂平面AD1E，故BM∥平面AD1E，由于BM∩MF=M，BM，MF⊂平面MBF，故平面MBF∥平面AD1E，又BF⊂平面MBF，故直线BF∥平面AD1E.(2)解由(1)知BM∥D1E，∴∠FBM或其补角为异面直线BF与D1E所成的角，设正方体棱长为1，则BF=AF2+MF=12AD1=2连接BD，则BM=M=122+(∴cos∠FBM=BM322+故异面直线BF与D1E所成角的余弦值的大小为2516.(1)证明连接AC，如图所示.由于PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PA⊥AC.且PA=2，PC=23，则AC=PC2-又AD=CD=2，则AD2+CD2=8=AC2，故CD⊥AD.又CD⊥BC，则AD∥FC，又AD=FC=2，则四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD.又AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AF∥平面PCD.由于BC=3，CF=2，则BF=1.又BE∶EP=1∶2，则BE∶BP=BF∶BC=1∶3，则EF∥CP.又EF⊄平面PCD，CP⊂平面PCD，则EF∥平面PCD.又EF∩AF=F，EF，AF⊂平面AEF，可得平面AEF∥平面PCD.(2)解由(1)知，平面AEF∥平面PCD，所以点E到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等，故三棱锥E-PCD的体积与三棱锥A-PCD的体积相等，也与三棱锥P-ACD的体积相等.△ACD的面积为2，点P到平面ACD的距离为2，故所求体积为13×2×2=417.(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，所以∠BAD=∠ABC=60°，因为CB=CD=CF=1，所以AD=CD，所以∠ACD=∠CAB=∠DAC=30°，所以在△ABC中，∠ABC=60°，∠CAB=30°，∠ACB=90°，即AC⊥BC，因为FC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以FC⊥AC，因为FC∩BC=C，FC，BC⊂平面BCF，所以AC⊥平面BCF，因为AC⊂平面ACF，所以平面ACF⊥平面BCF.(2)解线段AB上存在点G，使得EG∥平面ADF，AG=14AB=1下面证明结论：如图，取DF的中点H，连接HE，HA，在线段AB上取点G，使得AG=14AB连接EG，由(1)知，在△ABC中，∠ABC=60°，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AB=2BC=2，所以AG=14AB=1因为AB∥CD，AB=2BC=2CD，所以AG∥CD，AG=12CD因为H为DF的中点，E为CF的中点，所以HE∥CD，HE=12CD=1所以AG∥HE，AG=HE，所以四边形AGEH为平行四边形，所以AH∥EG，因为AH⊂平面ADF，GE⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF.所以线段AB上存在点G，使得EG∥平面ADF，AG=14AB=118.(1)证明在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即BC⊥AB，∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面AA1B1B，∵BB1⊂平面AA1B1B，∴BC⊥BB1.在菱形AA1B1B中，∠A1AB=60°，连接A1B(图略)，则△A1AB是等边三角形，∵点M是AA1的中点，∴AA1⊥BM.又AA1∥BB1，∴BB1⊥BM，又BM∩BC=B，BM，BC⊂平面BMC，∴BB1⊥平面BMC，又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.(2)解如图，作BG⊥MB1于点G，连接CG.由(1)知BC⊥平面AA1B1B，又MB1⊂平面AA1B1B，∴BC⊥MB1，又BG⊥MB1，且BC∩BG=B，BC，BG⊂平面BCG，∴MB1⊥平面BCG.∵MB1⊂平面CMB1，∴平面CMB1⊥平面BCG，作BH⊥CG于点H，则BH⊥平面CMB1，连接MH，则∠BMH即为直线BM与平面CMB1所成的角.设AB=BC=2，则BB1=2，BM=3，在Rt△MBB1中，MB1