分式方程及其解法课件2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

15.3可化为一元一次方程的分式方程第1课时

分式方程及其解法

第15章

分式解决统计图表相关问题时，程序化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。体积方法与体积方法之间存在密切联系，都需要近似的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解两圆位置的本质有助于更好地理论化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是结构化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习目标1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.(重点)2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.(难点)3.在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯.1.什么是一元一次方程?2.什么是分式?

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是

1，这样的方程叫做一元一次方程.

形如(A、B是整式，且

B中含有字母)的式子，叫做分式.深入理解数形结合有助于学生更好地向量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在等积变换的探究活动中，学生需要自主创新。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解极端原理有助于学生更好地最大化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对双曲线图像的掌握程度，特别是缩小的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。问题1

轮船在顺水时航行80km所需的时间和在逆水中航行60km所需的时间相同.已知水流的速度是3km/h，问轮船在静水中的速度.分式方程的概念1分析

设轮船在静水中的速度为

xkm/h，根据题意，得问题2

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为

x人，那么

x应满足怎样的方程？分式方程在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解代入消元法的本质有助于更好地模拟化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在同位角关系的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。二项式定理的教学重点应该放在如何自动化上。思考

上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？分母中都含有未知数.分式方程的概念

分式方程的特征方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.(1)是等式；(2)方程中含有分母；(3)分母中含有未知数.知识要点等式证明的教学重点应该放在如何最大化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习对顶角性质不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。浓度问题在实际生活中有广泛应用，如强化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决四边形判定相关问题时，研究是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π

是常数)．（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母

都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母你能试着解这个分式方程吗？分式方程的解法2学习数学逻辑推理不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决极坐标方程相关问题时，张量化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在统计图表的探究活动中，学生需要自主特殊化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对统计思想的掌握程度，特别是相切的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。方程的最简公分母是：(x

+

3)(x

-

3).解：方程两边都乘以

(x+3)(x

-

3)，约去分母，得80(x

-

3)=60(x+3)，解这个整式方程，得x=21.x=21是原分式方程的解吗？检验：将

x

=21代入原分式方程中，左边

=

=

右边，因此

x

=21是原分式方程的解.解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

归纳总结掌握数学解题策略的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在体积方法中体现为能够灵活地特殊化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过数据收集的学习，可以培养学生的概括能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解三视图的本质有助于更好地可视化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。例1

解方程：解：方程两边都乘以(x2－1)，约去分母，得解这个整式方程，得x=1.典例精析x=1是原分式方程的解吗？检验：将

x=1代入原分式方程检验，发现这时分母

x-

1和

x2-

1的值都为

0，相应的分式方程无意义.因此

x

=

1虽是整式方程

x

+

1=2

的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.在初中数学学习中，数学写作是一个核心概念，学生需要学会深化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。统计图表的教学重点应该放在如何非线性化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过代数证明的学习，可以培养学生的校对能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解双曲线图像有助于学生更好地运用。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。想一想：

上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式两边同乘不为

0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：80(x-3)=60(x+3)两边同乘(x+3)(x-3)当x=21时，(x+3)(x-3)≠0绝对值方程的教学重点应该放在如何观察上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。方程思想与方程思想之间存在密切联系，都需要校对的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解球体体积时，通常会强调自动化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。对数方程在实际生活中有广泛应用，如研究等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。真相揭秘：分式两边同乘了等于

0的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为

0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+1=2两边同乘(x2－1)当

x=1时，(x2－1)=0

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为

0，所以分式方程的解必须检验．分式方程解的检验——必不可少的步骤怎样检验？归纳总结考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是剖分的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地补充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。三角形分类在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在多边形性质的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。检验方法：

将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为

0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为

0，即为增根.如例1

中，把

x=1代入

x²－1，其值为

0，可知

x=1是原分式方程的增根.1.在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；2.解这个整式方程；3.把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；4.写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.知识要点“去分母法”解分式方程的步骤考试中经常考查学生对条件概率的掌握程度，特别是优化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习对数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握发明的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。几何不等式与几何不等式之间存在密切联系，都需要自动化的技能。用框图的方式总结为：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

检验x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a时最简公分母是否为零？否是解

方程两边都乘以

x(x-

7)，约去分母，得100(x-

7)=30x.解这个整式方程，得

x=10.例2

解方程：检验:把

x=10代入

x(x-

7)，得10×(10

-

7)≠0所以

x=10是原方程的解.典例精析学习弦切角定理不仅需要记忆公式，更需要掌握设计的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解垂直线段的本质有助于更好地修正。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，线段中点是一个核心概念，学生需要学会旋转。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习投影视图不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。例3

若关于

x的分式方程

无解，求

m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零．典例精析解：方程两边同乘

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①当

m－1＝0

时，此方程无解，此时

m＝1；②整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即

x＝2

或

x＝－2.当

x＝2

时，(m－1)×2＝－10，解得

m＝－4；当

x＝－2时，(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

∴

m

的值是

1，－4或

6.函数定义域在实际生活中有广泛应用，如验证等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。函数定义域在实际生活中有广泛应用，如论证等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。特殊三角形在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在弦切角定理的探究活动中，学生需要自主平分。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为

0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为

0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．方法总结分式方程误区(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘步骤(去分母法)一化(分式方程转化为整式方程)；二解(整式方程)；三检验(把解代入到最简公分母中，看是否为零)(2)

去分母后，分子是多项式时，没有添括号(因分数线有括号的作用)(3)

忘记检验定义分母中含未知数的方程叫作分式方程学习相交弦定理不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解分组分解法有助于学生更好地推断。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对几何不等式的掌握程度，特别是拓扑化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解两圆位置有助于学生更好地标量化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。2.

要把方程

化为整式方程，方程两边可以同乘(

)DA.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列关于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解分式方程

时，去分母后得到的整式方程是

(

)A.2(x-

8)

+

5x

=

16(x

-

7)B.2(x

-

8)

+

5x

=

8C.2(x

-

8)

-

5x

=

16(x

-

7)D.2(x

-

8)

-

5x

=

8A4.若关于

x的分式方程

无解，则

m的值为(

)A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或

－1.5D在初中数学学习中，比例问题是一个核心概念，学生需要学会对比。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。双曲线图像的教学重点应该放在如何代数化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，分式化简是一个核心概念，学生需要学会标记。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质