海南省海口市2026届高三上学期一模调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省海口市2026届高三上学期一模调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，.故选：B.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.i【答案】C【解析】由复数z满足，则.故选：C.3.已知，则（）A.1或9 B.1 C.9 D.1或【答案】C【解析】由题可得，，且，（即），得，即，两边同除以，得，解得或，又因为，故.故选：C.4.下列椭圆中，形状最接近圆的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在椭圆中，，，所以，所以离心率；在椭圆中，，，所以，所以离心率；在椭圆中，，，所以，所以离心率；在椭圆中，，，所以，所以离心率.根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又，所以椭圆更接近于圆.故选：.5.在中，已知，，外接圆面积为，则（）A.或 B. C. D.或【答案】B【解析】设外接圆的半径，外接圆面积为，，解得：，由正弦定理,，，，即，，，即，，，，则，，.故选：B.6.海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为：，故选：A.7.已知，是随机事件，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由条件概率公式得，因此，将代入得，解得.故选：D.8.已知，设满足方程，满足方程，则（）A.a B.2a C.1 D.2【答案】A【解析】由题意可得，满足方程，满足方程，令，则，将代入可得：，进一步化简可得：，观察与，发现两个方程形式相同，设，对函数求导可得：，在时，，所以在时单调递增，即方程有唯一解，所以，，即，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（）A.从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法B.高一年级抽到学生12人C.样本容量D.三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小【答案】AB【解析】对于，从高二年级学生500人中抽取15人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽样方法，故正确；对于，根据题意知抽样比为，所以高一年级应抽取人，高三年级应抽取人，故样本容量，故正确，错误；对于，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故错误.故选：AB.10.在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（）A.B.C.三棱锥的外接球表面积为D.异面直线AN，CM所成角的余弦值为【答案】AC【解析】在三棱锥中，，，将三棱锥补形为长方体，则有，解得，以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则有，，对于A，，则，A正确；对于B，，向量不共线，不平行，B错误；对于C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其半径为，则三棱锥的外接球表面积为，C正确；对于D，，，因此异面直线，所成的角的余弦值是，D错误.故选：AC.11.已知函数（，且）为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是（）A. B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】由是偶函数可得，即，得，所以，令，，此时，，即，令，因为在上单调递减，所以，即可以取，0，1.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，若，则_______．【答案】【解析】根据题意，，又因为，则，解得.故答案为：.13.已知直线与曲线相切，则实数_______．【答案】4【解析】由题意，定义域为，，设切点坐标为，又切点既在曲线上又在切线上，，解得或（舍掉），则.故答案为：4.14.在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为__________________．【答案】【解析】当直杆的端点P恰好通过双曲狭缝时，模型转换后如图所示，，，，则，由平面平面，得，而平面，则平面，即，设，则，，又，，于是，在直角中，，即，所以双曲线标准方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示．年龄x/岁12345平均身高y/cm76.086.597.5103.5111.5（1）儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）；（2）能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由．参考数据：．参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．解：（1），，，得，，∴.（2）不能.因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围．16.已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记．（1）若，求线段的长度；（2）求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．解：（1）如图，在中，，∴.同理，.在中，由余弦定理可得：，∴，.（2）在中，，在中，.在四边形中，.设的面积为S，则.由，得，∴当，即时，S最大，.因此，当时，的面积最大，最大面积为.17.已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标．解：（1）由题意知，，代入抛物线方程得因为，即，解得，所以方程为．（2）设，，因为点为线段的中点，所以，，即，，则，所以，又M，Q均在抛物线上，所以，解得，即．18.如图，在棱长为3的正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面所成角的大小；（3）设为平面内任意一点，点到平面ABCD，，的距离分别为，，，求的最小值．（1）证明：法1：如图1，连接AE并延长交BC于点G，∵，∴，且，∴，即：G点是BC的中点，连接并延长交BC于点H，同理，H点是BC的中点，所以G与H重合，连接，∴，∴，在，∴∴，又平面，平面，∴平面；法2：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，，则，，，，，，，∴，∴，∴，又平面，平面，∴平面；（2）解：法1：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，∵，，，，因为，所以，，，平面，平面，平面，∴平面，∴EF与平面所成角为；法2：，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的法向量为，设直线EF与平面所成角为，则，∴与平面所成角为；（3）解：设，则，，，，求的最小值转化为求点A到平面的距离的平方，∵，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的法向量为，设点A到平面的距离为d，则，所以.19.设函数，．（1）令，，．（i）求的表达式；（ii）