河南省百师联盟2026届高三上学期1月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省百师联盟2026届高三上学期1月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合中的元素个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为集合，，所以，即集合中的元素个数为.故选：C.2.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B.3.在平面直角坐标系中，从点出发的一束光线经直线上的点反射后，又经过轴上的点反射后经过点，则的周长是（

）A. B.5C.10 D.【答案】D【解析】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为.由对称性可知，，，反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于，为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上，否则路径无法满足“两次反射后回到”的条件.因此，四点共线，则的周长等于.故选：D.4.下列说法正确的是（

）A.过圆上一点的切线方程为B.集合的充要条件是C.函数的最小值是4D.平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线【答案】A【解析】对于A，圆的圆心为点，点为圆上一点，，圆的切线与直线垂直，当直线和切线的斜率都存在时，，所以切线的斜率，则切线方程为，化简得.当直线的斜率不存在时，，，切线方程为，满足.当直线的斜率为时，，，切线方程为，满足.综上，过圆上一点的切线方程为，故A正确；对于B，当时，集合；当时，恒成立，所以，解得，所以集合的充要条件是.故B错误；对于C，令，，则函数即函数，由对勾函数的性质，知函数在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，即函数的最小值是，故C错误；对于D，当定点在定直线上时，点的轨迹是过定点的定直线的垂线，不是抛物线，故D错误.故选：A.5.在中，内角所对的边分别是.若，且，则面积的最大值为（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】在中，，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，则，又，当且仅当时取等号，因此，所以面积的最大值为.故选：C.6.函数的部分图象如图所示，是正三角形，其中，两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】过点作轴于点，则由题意得.因为是正三角形，所以.设函数的最小正周期为，则.因为，所以，所以.因为，所以，，所以，，，所以，，解得，.因为，所以，所以，则，所以.故选：B.7.已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵点在椭圆上，∴.由知，直线平分，所以与共线，∵，∴存在实数，使得，整理得，∵不共线，∴，解得，∴，.在中，由余弦定理得.∵，∴.化简得，∴椭圆的离心率.故选：C.8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数，则（当且仅当时，等号成立），所以在上恒成立，所以函数是增函数，因为，所以是奇函数，因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，且函数等价于，因为，令，可得；令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以函数的最小值为，即的最小值为，所以，即实数的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正项等比数列的公比为，前项的积为，若，，则下列说法正确的有（

）A.B.C.D.当最小时，【答案】B【解析】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得，∵，∴，∴，解得，故B正确，C错误.所以，所以，A错误.∵，，∴当或时，，当时，.∴当时，，当时，，当时，，∴当最小时，或，故D错误.故选：B.10.已知圆，直线，，则下列结论正确的有（

）A.存在使得圆关于直线对称B.圆心到直线的距离最小值为C.当时，直线与圆相切D.存在使得圆上有三个点到直线的距离为【答案】BCD【解析】由题意得，圆的圆心为，半径.若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即，关于的方程没有实数解，所以不存在使得圆关于直线对称，故A错误.圆心到直线的距离，当且仅当时，等号成立，故B正确.当时，直线的方程为.因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故C正确.因为，所以当圆上有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为，即，所以，解得，故D正确.故选：BCD.11.已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（

）A.直线的斜率为B.为直角C.面积的最大值为D.的最小值为【答案】AD【解析】设，点在轴上方，椭圆的右焦点为，如图所示，设，由椭圆和直线的对称性，则，，，故直线的斜率，所以A正确；设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，因为点和点在椭圆上，所以和，两式相减，可得，又因为，所以，所以，即，所以直线与不垂直，即不是直角，所以B错误；联立方程组，解得，则，，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值是，同理可得，当时，面积的最大值也是，所以C错误；连接，椭圆的左、右焦点分别为，，由椭圆的定义得，又因为点关于坐标原点对称，所以，所以，设，，，，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.【答案】【解析】方法一：当时，，当时，，，，且，当时，是以为首项，为公比的等比数列，，，.方法二：当时，，.当时，，，.故答案为：.13.在平行六面体中，，.若，，，则________.【答案】【解析】，，，，，，，，，，，，代入上式，解得.，，即.故答案为：.14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，.若双曲线在，两点处的切线相交于点，直线轴与双曲线的右支交于点，则的最小值为________.【答案】【解析】由题意得，，设，（，），则双曲线在点，处的切线方程分别为，.设，则，，所以点A，B都在直线上.因为点在直线AB上，所以，即，直线l的方程为，即.由题意知，直线l的倾斜角不为0，则直线l的方程可设为，所以，即.联立直线l和双曲线C的方程，化简得.恒成立，由，得，则.设，则，，所以，所以，所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面内三点，，.（1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围；（2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值及此时的方程.解：（1）因为，，，所以直线，AC的斜率分别为，.因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足，即，即直线的斜率的取值范围是.（2）由题意，得直线的斜率存在，设为，则.因为直线过点，所以直线的方程为.令，解得；令，解得，则，.所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12.此时直线的方程为.16.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的正切值.解：（1）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，得，又，设直线与平面所成角为，所以；（2）由（1）知平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，由题可知，二面角的平面角是锐角，所以，因为，所以，即二面角的正切值为.17.已知一动圆的圆心为，该动圆与圆外切，同时与圆内切.（1）求该动圆圆心的轨迹方程；（2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线交轴于点，若的面积是的面积的两倍，求的值.解：（1）设动圆的半径为.由题意，圆与圆的标准方程分别为和，故，半径，，半径，由题意得，，故，由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆.，，故，故圆心的轨迹方程为.（2）由（1）知，曲线即椭圆.由题意，点，是椭圆的左、右顶点.由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且，直线的方程为，则设，由消去，整理得.由题意得，故，故，又点到直线的距离，故，又，由题意，化简得，解得或，当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，函数有两个零点，，求证：.（1）解：函数，其定义域为，∴.当时，恒成立，∴在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）解：由题意，∴即.∵，∴不等式可化为，即.设，则当时，；当时，；当时，.，当时，，在上单调递增.当时，，，故，当时，，，，在上恒成立，即在上恒成立.设，，则，在上单调递增，，∴，综上实数a的取值范围是.（3）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.函数有两个零点，，不妨设，则.要证，只要证，，，只要证.又∵，∴只要证.设，，则.当时，，，，∴，∴单调递减，∴.，即，∴.19.我们把形如的数学对象称作一个矩阵.定义矩阵乘法：.已知矩阵.（1）若矩阵，计