河南省南阳市六校联考2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市六校联考2026届高三上学期1月期末考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，，所以.故选：D．2.已知复数（i为虚数单位），则z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，所以在复平面上对应的点在第二象限.故选：B.3.已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，因为，所以，解得，所以在上的投影数量为，故选：C．4.想要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位B.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位C.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位D.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位【答案】C【解析】，将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像，故选：C．5.展开式中的系数是（）A.-8 B.24 C.-24 D.16【答案】D【解析】展开式中的系数为，的系数为，所以展开式中的系数是.故选：D.6.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，对称轴为直线，则，所以，所以，所以，则的周期，因为，所以，又当时，，函数是定义在上的奇函数，所以时，，所以，故选：A．7.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的焦距为，右焦点为，连接，则，，，由椭圆的定义可知，在和由余弦定理可得，整理得，所以，即.故选：B.8.若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，令函数，显然函数在上单调递增，依题意，不等式恒成立，即，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此当时，，，所以实数k的取值范围是.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若相互独立，则C.若相互独立，则D.若，则【答案】AB【解析】若，则与互斥，所以，故A正确；若相互独立，则相互独立，则，故B正确；若相互独立，则，故C错误；若，则，故D错误.故选：AB.10.记锐角的内角的对边分别为，已知，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，由余弦定理得，因为，可得，整理得，即，所以A正确；对于B，因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，即，所以，所以B正确；对于C，由且为锐角三角形，设，则，又由，可得，可得，解得，因为，因为，可得，当且仅当时，即时等号成立，又因为，所以等号不成立，则，所以，所以C不正确；对于D，由选项C得，其中，设，可得，令，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，所以D正确.故选：ABD.11.已知抛物线，直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，点是横坐标为的一定点，当时，弦恰被点平分，则以下结论正确的是（）A. B.C.的周长可以为 D.当时，【答案】ABC【解析】对于A选项，如图，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，又，解得，故A正确；对于B选项，设直线的方程为，又抛物线，由，可得，则当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，当时，，又，所以，由对称性，下面只考虑的情况，，设的周长为，分别过点、向抛物线准线作垂线，垂足分别为、，则，周长的最小值为，故C正确；对于D选项，，，则，解得或-2(舍)，，，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.有一组正整数从小到大排列为：1，2，6，7，9，m，这组数据的40％分位数等于它们的平均数，则m为________.【答案】11【解析】因为，所以这组数据的40％分位数为第3个数据6，则，解得.故答案为：11.13.已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________.【答案】1【解析】设直线在处的切点坐标为，在处的切点坐标为，，，因为直线是曲线和的公切线，所以，解得，则，把代入直线中可得，又，解得，把代入直线中可得，再把代入中可得，即，所以.故答案为：1.14.已知圆台的上下底面积之比为1:4，与圆台的上下底面和侧面都相切的球半径为1，则圆台的表面积为_________.【答案】【解析】如图所示，作出圆台的轴截面，，分别为圆台上、下底面的圆心，球的截面圆内切于梯形，作于点，连接，则，设球的半径为，圆台的上下底面半径分别为，易知圆台的高为，母线长为，由题意可知，，因为，，所以，把，代入方程可得，，所以圆台的表面积.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，，，由成等比数列得，，整理得，解得或，因为是单调递增的等差数列，所以，即，所以．（2）由题可知，，由（1）得，，所以，则，，两式相减得，，整理得．16.记的内角A，B，C的对边分别为且．（1）求角B；（2）若的面积为为AC边上一点，满足．①求的周长；②求的长．解：（1）由得，，又角C为的内角，所以，则，解得或（舍）．（2）①因为，所以，由余弦定理得，，由及得，即为等边三角形，所以的周长为12；②由，所以，在中，由余弦定理得，所以．17.如图，在平行六面体中，，，，点在底面上的射影为底面中心．（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在平行六面体中，，平面，而平面，则，在中，，则四边形是正方形，，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：由平面，，得直线两两垂直，，又，则是正三角形，，同理，而，则，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，.（1）求双曲线的方程；（2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示：①求实数的取值范围；②求面积的最大值.解：（1）设双曲线的焦距为，把代入双曲线方程可得，由题意可知，解得，所以双曲线的方程为.（2）①由（1）可知，由角平分线性质可得，又，联立两式可得，因为在双曲线右支上，所以且，即，所以，，所以，解得，又，所以的取值范围为.②由①可知；当时，，，此时直线的方程为，即，令，得，直线的斜率最小，，且，设，直线的方程为，则，由消去得，则，，，由图可知，令，，因为，所以，在上单调递增，所以，所以面积的最大值为.19.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数都存在两个不同零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，给定满足条件的常数，证明：当取最小值时，.（1）解：已知的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上所述，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）解：由（1）可知，当时，在处取得极小值也为最小值，则，若，有两个不同的零点，又时，，时，，所以恒成立，即.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处取得