河南省商丘市青桐鸣2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省商丘市青桐鸣2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在等差数列中，因为，又，所以，故选：C．2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线垂直于轴，所以该直线的倾斜角为．故选：B．3.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据椭圆的定义可知，，又，解得，．故选：A．4.双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由双曲线可知，其渐近线方程为，由题意可知，，所以，则，解得，所以双曲线C的焦距为．故选：D．5.某科技馆建了一个AI技术展播厅，此展播厅共设置了17排座位，后一排都比前一排多2个座位（例如：第二排比第一排多2个座位），已知第9排有36个座位，则此展播厅的座位总数为（）A.646 B.629 C.612 D.595【答案】C【解析】设AI技术展播厅的座位从第1排到第17排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为，则数列是一个公差为2的等差数列，且，所以，解得，则，因此．故选：C．6.设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，又，则，解得，，，所以．故选：A．7.已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则数列的前30项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，所以的前项可以分成三组：第一组；第二组；第三组，每组都是公比为3的等比数列．设数列的前30项和为，则．故选：A8.已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由得，，整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上．点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图，有图可知，当，时，才有可能取得最小值，设圆与圆关于直线对称，则，连接，则，当C，M，三点共线时，取得最小值．设，则，解得，即，所以，则的最小值为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则下列正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，，得，A正确；假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误；因，所以，则，C正确；因为，所以，D正确．故选：ACD．10.已知等比数列是单调数列，且其前项和为，前项积为，，，则下列正确的有（）A. B.C. D.取得最大值时，【答案】BC【解析】对于A，设公比为，由，可知，，即，整理得，解得或，因为等比数列是单调数列，所以，由得，，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，，所以，由等比数列的性质可知，，又，所以，则，故C正确；对于D，令，解得，又等比数列是单调递减数列，所以，要使取得最大值，需，所以取得最大值时，或，故D错误．故选：BC．11.已知双曲线的离心率为2，，分别为C的左、右焦点，O为坐标原点，曲线，，且E与C交于A，B两点，则下列正确的有（）A. B.C.的最大值为32 D.面积的最小值为【答案】ABD【解析】由双曲线的离心率为2得，，解得，A正确；不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线，，过焦点，因为C的渐近线方程为，而直线的斜率，所以延长线段与C的右支交于点，由对称性可知，B与关于x轴对称，设，，则，不妨设直线的方程，则，由，整理得，所以，，所以，令，则，，所以，易知函数上单调递减，所以，则，所以，B正确；由双曲线的定义可知，，，所以，故的最大值为34，C错误；易知，，则，所以，则面积为，所以，因为在上单调递减，所以，故面积的最小值为，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两平行直线与之间的距离为________．【答案】【解析】由题意可知，，所以两直线之间的距离为．故答案为：.13.若直线与椭圆在第一象限内有两个公共点，则C的长轴长的取值范围为________．【答案】【解析】联立，整理得，，设交点坐标为，，要使直线与椭圆在第一象限内有两个公共点，易知两点横坐标均大于零，则，解得，则，故C的长轴长的取值范围为．故答案为：.14.如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则________（用含的式子表示）．【答案】【解析】，设，在梯形中，，所以，则，所以，即，所以，故．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为．（1）求正方形的面积；（2）求顶点A的坐标．解：（1）由圆的一般方程为化为圆的标准方程为．所以圆心坐标为，半径，则，故正方形ABCD的面积为．（2）因为，所以，则对角线AC所在的直线方程为，即，由，整理得，解得，，所以或，故顶点A的坐标为或．16.记为数列的前n项和，已知．（1）证明：是等差数列；（2）设，求数列的前n项和．（1）证明：当时，，当时，，显然时也满足上式，所以，因为，所以是公差为2的等差数列;（2）解：由（1）可知，，则，①，②由①②得，，故．17.如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．（1）若，（i）证明：平面PCD；（ii）求直线CD与平面所成角的正弦值．（2）若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度．（1）（i）证明：取CD的中点O，连接PO，因为，所以，因为，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，因为，所以Q为PB的中点，所以，所以，易知平面PCD的一个法向量为，则，即，因为平面PCD，所以平面PCD；（ii）解：由上面分析得，，设平面的法向量为，由，得，取，则．则，故直线CD与平面所成角的正弦值为．（2）解：由上可知，，，，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又知平面PCD一个法向量为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，则，所以，故的长度为．18.已知F为抛物线的焦点，直线经过F，过点的动直线与C相交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，若的面积为，直线与y轴交于点N，证明：；（3）若直线的斜率小于0，且上任意一点到两直线AF，BF的距离相等，求直线的斜率．（1）解：抛物线的焦点为，由题意可知，，解得，故抛物线C的方程为．（2）证明：易知动直线的斜率不为0，设其方程，，，，整理得，则，，，所以的面积为，由题意得，，解得，所以直线的方程为，则，故．（3）解：不妨设点A在第一象限内，则点B在第四象限内，因为上任意一点到两直线AF，BF的距离相等，所以直线平分，结合图形可知，AF，BF的斜率都存在，则，，又直线的斜率为2，在上取一点E，且E位于点F的右上方，所以，则，整理得，，由（2）得，，，所以，即，所以，解得或，经