河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由双曲线可得其标准方程为，故，故双曲线的离心率为，故选：C.2.在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（）A.2 B. C.4 D.8【答案】B【解析】设，则，所以，因为，所以所以．故选：B．3.已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设所求圆的方程是.已知的三个顶点分别为，因为，且，所以是直角三角形，所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，即，所以的外接圆的方程为.故选：D4.记为等差数列的前项和，若，则（）A.7 B.9 C. D.【答案】A【解析】是等差数列，设首项是，公差是，，，，，，，故A正确．故选：A．5.已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（）A.外切 B.相交 C.内切 D.内含【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.因为，，，，所以圆与圆相交.故选：B.6.如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由取的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：由，则，可得：，又因为为的中点，所以，即，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故选：A.7.已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（）A.6 B. C. D.8【答案】C【解析】如图，作垂直于准线上两点，作于，由抛物线的定义可知，所以，又直线的斜率为，所以，即，所以在中，.故选：C.8.已知数列中，，设，则数列的前30项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，且，所以，所以是周期为3的周期数列，因为，设数列的前30项和为，则数列的前30项和为：，，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线和圆，则下列说法正确的是（）A.若直线过圆的圆心，则 B.若，则直线与圆相交C.若直线与圆相切，则 D.圆心到直线的最大距离为【答案】BD【解析】对A：圆的圆心为，半径为2.

若直线过圆的圆心，则.故A错误；对B：由所以若，则直线与圆相交.故B正确；对C：由或，所以若直线与圆相切，则或.故C错误；对D：因为直线：，所以直线过定点，所以圆心到直线的最大距离.故D正确.故选：BD.10.记为数列的前项和，已知，则（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】由，可得：，两式相减得：，即，所以为等比数列，故B正确；再由，可得，即，当时，有，由于不满足上式，所以，故A错误；由，故C正确；由，则，两式相减得：，故D正确；故选：BCD11.如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A.是平面的一个法向量B.当时，C.若是平面一个法向量，则恒成立D.直线与所成角的余弦值的最大值为【答案】ACD【解析】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，故，即，又平面，故平面，故是平面的一个法向量，故A正确；当时，，则，故B错误；因为，所以，设，则，不妨令，则，又，则，故C正确；因为，所以，则，又，则，令，所以，令，则，当时有最小值，此时有最大值，故直线与所成角的余弦值的最大值为，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________．【答案】2【解析】因为，所以，，因为为等比数列，所以，即，解得.故答案为：2.13.已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________．【答案】【解析】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以，又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为___________．【答案】【解析】双曲线左、右焦点分别为，，故，，故，点在双曲线的右支上且位于第一象限，则，，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线与双曲线方程得，化简整理得，解得或（时，，不合题意舍去），，，，设的内切圆半径为，圆心为，则，即，，解得，的内切圆面积为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知抛物线上一点到其焦点的距离为3．（1）求的方程；（2）若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标．解：（1）因为抛物线上一点到其焦点的距离为3，根据抛物线的定义，可知点到的准线的距离也为3，即得，即，故的方程为．（2）设，的方程为，由题意知，由，得，需满足，则因，所以，解得或（舍去），所以的方程为，与轴的交点坐标为．16.记正项等比数列的前项和为，已知．（1）求；（2）证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列．（1）解：设正项等比数列的公比为，因为，所以，解得或（舍去）．由，代入得，所以，故．（2）证明：由（1）得，所以，当时，，即，所以对任意正整数，只需令，即使得成等差数列．17.已知数列满足，．（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）设，求数列中的最小项．（1）证明：由题可知，则，即．所以是公差为的等差数列．所以，故．（2）解：，则．故（3）解：由题意知，则，易知关于单调递增，当时，，当时，，所以，故数列中的最小项为．18.如图，正方形与梯形所在平面垂直，．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．（1）证明：方法一：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得．，所以，所以．方法二：如图，连接．因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，，所以平面，平面，因此．（2）证明：设平面的法向量为，因为，所以，取．则，又平面，所以平面．方法二：设与交于点，的中点为，连接．因为是的中点，是的中点，所以，且．因为，所以，，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（3）解：，则，从而，所以．设平面的法向量为，则取．易知平面的一个法向量为．由题意知，化简整理得，解得或（舍去）．19.已知椭圆的右焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系；（3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围．解：（1）由题意可知椭圆的半焦距.由离心率为，可得，解得.所以，所以椭圆的标准方程为；（2）