北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线经过，两点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】因为直线经过，两点，由斜率公式得，所以直线的斜率为.故选：B.2.已知数列满足，（），则（）A. B.9 C.11 D.13【答案】C【解析】，，数列是公差为的等差数列，，．故选：C．3.已知双曲线（）的一条渐近线的方程为，则（）A B. C.3 D.9【答案】C【解析】已知双曲线，则双曲线焦点在轴上，，其中一条渐近线的方程为，解得．故选：C．4.已知向量，，则为（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】因为，，所以，所以.故选：B.5.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得.故选：C.6.已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（）A.1 B.2 C.5 D.6【答案】B【解析】因为，所以，因此点P必在以AB为直径的圆上，圆心为，半径为，因为圆：圆心为，半径为，所以两圆的圆心距为问题等价于圆与圆：有公共点，所以，即，解得.则的最小值为2.故选：B.7.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若为递增数列，当，且时，有，此时为递增数列，当对任意,，故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；若存在正整数，当时，，此时，，故，，假设存在，使得，则有，则，又且，故，则当时，，与条件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即对任意的，，即为递增数列，故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.故选：B.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过焦点作双曲线的渐近线的垂线，可得垂线的斜率为，所以的方程为，联立方程组，解得，即，联立方程组，解得，即，因为是的中点，可得，整理得，又因为，可得，所以，所以，则，即双曲线的离心率为.故选：D.9.现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架，将顶点固定，带滑槽的直杆的一个端点为，点处的铰链在直杆的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆一端固定在点处（可绕旋转），另一端连接点处的铰链，.与交点处有一个栓子（可在带滑槽的直杆上滑动），转动直杆的过程中，点处笔尖画出的曲线记为.以中点为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为菱形，则为线段的垂直平分线，故，所以，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，可得，即，所以所以曲线的方程为.故选：A.10.如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（）A.存在点，使得平面B.对于任意点，C.存在点，使得平面D.对于任意点，都是锐角三角形【答案】C【解析】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为，则。设，则，设平面的法向量为，则，令，则，即，若，解得，则时，，又平面，平面，即为中点时，平面，故A正确.，，故对任意的点都有，故B正确.，若平面，则有，方程组无解，所以不存在点，使得平面，故C错误.，，则中，，都是锐角，，也锐角，所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知两直线：和：，若，则______.【答案】【解析】由题意可知，，得.故答案为：.12.已知数列的前项和为，且满足，，则______.【答案】1【解析】已知，所以;当时：，；当时：，；当时：.故答案为：113.已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____．【答案】或【解析】方法一：首先.设到平面的距离为，则.又为等边三角形，边长为，所以，所以.故答案为：.方法二：设平面的法向量为.因为，，由，取在投影为：.即为点到平面的距离.故答案为：14.已知抛物线的焦点为，则点到准线的距离为______，过点作倾斜角为锐角的直线，直线与抛物线交于不同的两点，，过点作直线的垂线交准线于点，若，则直线的倾斜角为______.【答案】①.②.【解析】，则，故点到准线的距离为；过点作垂直准线，垂足为，则由抛物线的定义可知，，因为，所以，则，因为，所以直线的倾斜角为.故答案为：；15.平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论.①曲线关于轴对称；②面积的最大值为；③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上；④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______.【答案】①③④【解析】①设与关于轴对称，则，，则，则在曲线上，则曲线关于轴对称，①正确；②，若为直角，则则，当时，无解，故②错误；③当时，双曲线即，交点为，，实轴长为，则，若，则，则，则点在曲线上，③正确；④当时，设，则，由于，则，同理，则，由于，则点在椭圆内部，则曲线在椭圆内部，曲线所围成的图形面积小于椭圆所围成的图形面积，④正确；故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，解得或（舍去），所以，.（2）.17.已知圆心为的圆与直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，当时，求的值.解：（1）设圆的半径为，则圆心到直线的距离，故圆的方程为.（2）由可得圆心C到直线的距离为.则圆心到直线的距离为，解得或.18.已知抛物线：（）经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点.（1）解：将代入可得，解得，所以抛物线C的方程为，准线方程为；（2）证明：由题得，设直线方程为，设，则，联立方程，可得，则，，，，即，，即三点共线，故直线经过原点．19.如图，在直四棱柱中，，，，为棱的中点.再从下列三个条件中选择一个作为已知，完成以下问题的解答.条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.（1）证明：选择条件①：在直四棱柱中，平面，因为平面，所以，设中点为，连接，，，，，则四边形为平行四边形，，，，，，平面，平面，又平面，，，又平面，平面；选择条件②：同①可证，又平面，所以平面，选择条件③：连接，在直四棱柱中，平面，就是直线与平面所成角，，解得，，即，又，，又平面，平面；（2）解：由（1）知，两两垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，设平面的法向量为，则，取，则，所以，易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，解得或（舍去），即，所以，存在，．20.已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比.解：（1）依题意可得，解得，椭圆的方程为；（2）设，，，可得，即，则，直线的方程为：，，，直线的方程：，直线的方程：，直线与直线的方程联立可得，整理得，即，即，所以，所以，又，所以与的面积之比为.21.设为正整数，将正整数1，2，3，…，（）按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，的一个排列，，…，.如果时，有（，，2，…，），则称是排列，，…，的一个“逆序对”，排列，，…，中所有逆序对的个数称为其“逆序数”.记为1，2，3，…，的所有排列中“逆序数”为的排列的个数.（1）当时，写出“逆序数”为2的所有排列（直接写出结论）；（2）当时，求的表达式（用表示）；（3）证明：在1，2，3，…，的所有排列中，恰有种不同的排列的“逆序数”能被整除.注：.（1）解：逆序数为2的所有排列为.（2）解：将放在的某个排列的最后，逆序数不变，将放在的某个排列的倒数第2位，则与最后一位构成逆序对，逆序数增加，将放在的某个排列的倒数第3位，则与最后2位分别构成逆序对，逆序数增加，则，由于（完全正序），（交换相邻两数），则,则，…，累加可得，所以（3）证明：记为