2025-2026学年天津市南开区崇化中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市南开区崇化中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共30分。1.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A. B. C. D.2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A.种 B.种 C.种 D.种3.函数的图象大致是（）A. B.

C. D.4.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x，则不等式f（6-x2）＞f（2x-2）的解集为（）A.（-4，2） B.（1，2）

C.（-4，1） D.（-∞，-4）∪（2，+∞）5.已知，则a3的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.26.随机变量X的分布列为：X123Pa2a3a则P（X≥2）=（）A. B. C. D.7.离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若E（X）=2.7，则下列结论错误的是（）A.m+n=0.5 B.E（3X-1）=7.1 C.D（X）=0.81 D.P（X＞2）=0.58.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X=4）=（）A. B. C. D.9.已知函数，若函数g（x）=f（x）-3mx有4个不同的零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数有两个极值点x1，x2，且x1＞x2，则下列说法正确的是（）A.a＞2 B.f（x2）＜0

C.f（x1）+f（x2）=0 D.f（x1）＞f（x2）二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若，则=

.（用数字作答）12.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.则任意取出一个零件是合格品的概率为

；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为

.13.已知随机变量X的分布列如表，则σ（2X+7）的值为

.X1234P0.20.30.40.114.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），智能客服的回答被采纳2次的概率为

15.函数，，若对于任意x1∈（0，1），存在x2∈[1，3]使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为

.三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

已知函数f（x）=cosx+x2-4，f′（x）是f（x）的导函数.

（1）求的值；

（2）求曲线y=f′（x）在处的切线方程；

（3）求f（x）的最值.17.(本小题10分)

在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.

（1）求展开式中x-2的系数；

（2）求展开式中所有的有理项.18.(本小题10分)

甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），输的概率为1-p,每局比赛的结果是独立的.

（1）当时，求甲最终获胜的概率；

（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分：方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.19.(本小题12分)

已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.

（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.20.(本小题13分)

已知函数f（x）=lnx+ax2+3，g（x）=kx-k+2，（a、k∈R），

（1）当时，求函数f（x）的极值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）当a=0时，若在x∈（1，+∞）时恒成立，求整数k的最大值.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】56

12.【答案】

13.【答案】．

14.【答案】．

15.【答案】

16.【答案】π-1

2x-y-1=0

最小值为-3，无最大值

17.【答案】

x4，，

18.【答案】解：（1）甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况：

①前两局连胜，其概率为=，

②前两局一胜一负，第三局胜，其概率为=，

所以甲最终获胜的概率为=；

（2）方案一：甲获胜得3分，失败得-2分，

甲获胜的概率为p2+2p2（1-p）=p2（3-2p），

所以甲失败的概率为1-p2（3-2p），

所以甲获得积分的数学期望为E1=3p2（3-2p）-2[1-p2（3-2p）]=5p2（3-2p）-2，

方案二：甲获胜得1分，失败得0分，

甲获胜的概率为p2+2p2（1-p）=p2（3-2p），

所以甲失败的概率为1-p2（3-2p），

所以甲获得积分的数学期望为E2=p2（3-2p）-0×[1-p2（3-2p）]=p2（3-2p），

则E1-E2=5p2（3-2p）-2-p2（3-2p）=4p2（3-2p）-2=-2（4p3-6p2+1），

令f（p）=4p3-6p2+1，0＜p＜1，

则f′（p）=12p2-12p=12p（p-1）＜0，

所以f（p）在（0，1）上单调递减，

又因为f（）=0，

所以当0＜p＜时，f（p）＞0，即E1＜E2，

当p=时，f（p）=0，即E1=E2，

当