《等差数列前n项和的性质及应用》课件

第2课时等差数列前n项和的性质及应用第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.(逻辑推理)2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.(数学运算)3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.一、等差数列前n项和的函数特征

等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程等差数列的前n项和公式与二次函数的关系①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).名师点析

(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.微练习已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?若S7=S18呢?因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(n)的对称轴是直线n=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.若S7=S18,则函数f(n)的对称轴是直线n=,当n=12或n=13时,f(n)最大,故前12项和与前13项和最大.二、等差数列前n项和的性质(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.微练习(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5

B.4

C.3

D.2(2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=

.

答案

(1)C

(2)15解析

(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.课堂篇探究学习探究一等差数列前n项和的性质及其应用例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

.

分析运用等差数列前n项和的性质解决问题.解析

(1)(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.延伸探究

1一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为

.

答案

-110探究二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?方法技巧一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.变式训练

1在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.探究三求数列{|an|}的前n项和问题分析先求出通项an,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用Sn求解.方法技巧已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.延伸探究

3在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.

素养形成等差数列前n项和性质的灵活应用典例

项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.分析由于本题涉及等差数列的奇数项之和及偶数项之和,因此可以利用与奇、偶数项和的有关性质解题.解

(方法1)设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇,S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.

当堂检测1.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=(

)A.130

B.180

C.210

D.260答案

B解析

因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.答案

B4.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则实数λ的值是

.

答案

-1解析

Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∵{an}为等差数列,∴1+λ=0,即λ=-1.答案

756.(陕西咸阳高二期末)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a7=1,S4=-32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值.

CA.

B.

C.

D.

B

BA.14

B.16

C.18

D.20

BA.6

B.5或6

C.5

D.4或5

B

BC

9

12

169

A

10.一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为(

)

C

A

42

（1）若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第___项；4

44

.

.

14.家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体,某家庭农场从2019年开始逐年加大投入,加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益,已知2019年的收益为30万元,2021年的收益为50万元.照此规律,从2019年至2026年该家庭农场的总收益为(

)

DA.630万元

B.350万元

C.420万元

D.520万元

15.某学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多2个座位，则该放映大厅最后一排的座位数为(

)

AA.53

B.51

C.15

D.16

16.[河南洛阳期末]《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，立竿测影，自冬至日起，其日影长依次成等差数列.若小寒、立春、惊蛰的日影长之和为31.5尺，前八个节气的日影长之和为80尺，则