《函数的极值》课件

第1课时函数的极值第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解函数的极值、极值点的概念.(数学抽象)2.理解函数在某点取得极值的条件.(逻辑推理)3.会利用导数求函数的极值.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?【知识梳理】

一、函数极值的概念

只与附近值比较1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧

f'(x)<0,右侧

f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

不是点的坐标2.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧

f'(x)>0,右侧

f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.3.极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.名师点析

(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.微练习如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列说法错误的是(

)A.-2是函数y=f(x)的极小值点B.1是函数y=f(x)的极值点C.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零D.y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增答案

B解析

f'(1)=0,但在x=1附近的左、右两侧的导函数值同号,则1不是f(x)的极值点,故选B.二、函数极值的求法一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:解方程

f'(x)=0,当f'(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.名师点析

导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故需对f'(x)=0的解进行检验.微练习函数f(x)=x3-3x的极大值等于

,极小值等于

.

答案

2

-2解析

由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0,当x∈(-1,1)时f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,所以当x=-1时,函数取极大值

f(-1)=2;当x=1时,函数取极小值f(1)=-2.课堂篇探究学习探究一利用导数求函数的极值角度1

不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值:分析求出函数的导数,在函数定义域限制之下研究函数的单调性后,确定极值.解

(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增

极大值

单调递减极小值-6单调递增∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.∴f(x)极大值=,f(x)极小值=-6.x(-∞,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+∞)f'(x)+0-+0+f(x)单调递增极大值单调递减单调递增非极值单调递增故x=-1是函数的极大值点,且极大值f(-1)=-,没有极小值.方法技巧利用导数求函数极值的方法利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.解

(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)==x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)=.x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值0单调递增极大值4e-2单调递减x(0,)(,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增角度2

含参数的函数求极值例2已知函数f(x)=x3-(a+1)x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值.分析对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值.

(2)当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,2a)2a(2a,2)2(2,+∞)g'(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增方法技巧解析式中含参数的函数极值的求法由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间,因此解析式中含参数的函数极值的求法类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法,求解的方法是:先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小),然后根据函数的单调区间确定函数的极值.变式训练

2若函数f(x)=x-alnx(a∈R),求函数f(x)的极值.解

函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.当0<x<a时,f'(x)<0;当x>a时,f'(x)>0.则f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln

a,无极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln

a,无极大值.探究二由极值求参数的值或取值范围角度1

根据极值求参数值例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值

.(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.方法技巧根据函数的极值及极值点求解析式中的参数问题,主要是利用函数在极值点处的导数值为0,建立方程求参数,此类问题应注意,由于“若x=x0是函数的极值点”与“f(x0)=0”不是充要关系,因此求出参数后需要检验所求参数是否满足函数的极值点的条件.变式训练

3(1)函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为(

)A.1,-3

B.1,3C.-1,3 D.-1,-3(2)(湖南长沙湖南师大附中高二月考)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=(

)A.4 B.11C.4或11 D.3或9答案

(1)A

(2)B角度2

根据极值点个数求参数取值范围例4已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.分析f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.解

f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).方法技巧已知函数极值点的个数求参数取值范围的方法已知函数极值点的个数求参数取值范围,其本质是函数存在变号零点问题,解决此类问题可转化为函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.变式训练

4(1)(宁夏固原隆德高二期末)函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是(

)A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析

(1)∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f'(x)=3x2+6ax+3(a+2).∵函数f(x)有极大值又有极小值,∴f'(x)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=36a2-36(a+2)>0,整理可得a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.故a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D.当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴函数f(x)在x=1处取得极大值.探究三由函数图象分析函数的极值例5已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有

.(填序号)

分析通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.答案

①②④解析

从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,③错误.方法技巧根据导函数的图象确定函数的极值的方法根据导函数的图象确定函数的极值的方法主要是根据导函数的符号确定函数的单调性及单调区间,然后结合函数单调性确定函数的极值.变式训练

5已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内单调递增;②函数f(x)在(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中正确结论的序号是

.

答案

②④解析

因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内单调递增,同理f(x)在(0,2)内单调递减,故函数f(x)在x=0处取得极大值,故②④正确.

素养形成利用函数极值研究函数零点典例

已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.分析求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.解

令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.解得-2<a<2,故实数a的取值范围是(-2,2).方法点睛利用函数的极值研究函数的零点的方法(1)函数极值的一个重要应用就是研究函数的零点(或函数对应方程的根),方法主要是利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出函数图象的草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)根据函数的导数研究含参数的函数零点个数问题,若能够分离参数,则也可以分离参数后利用数形结合思想求解,如本题就可以分离参数,将问题转化为方程-a=x3-3x有三个不同实根,构造函数y=x3-3x后作出函数的图象,利用该函数的图象与直线y=-a有三个交点确定参数的取值范围.延伸探究

1(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解?解

由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0或-2+a=0,所以a=-2或a=2.延伸探究

2(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解

由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).

当堂检测1.(江苏苏州吴县中学高二月考)函数y=x3-12x+12的极大值为(

)A.18 B.21 C.26 D.28答案

D解析

函数的定义域为R,其导数为y'=3x2-12,令y'=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,y',y的变化情况如下表所示:所以当x=-2时,函数有极大值f(-2)=(-2)3-12×(-2)+12=28.故选D.x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y'+0-0+y单调递增极大值单调递减极小值单调递增2.(陕西高二期末)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是(

)A.在区间(-2,2)上单调递减B.在x=-2处取得极小值C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增D.在x=0处取得极大值答案

B解析

由图象知f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(x)在x=-2取极小值,在x=2取极大值,故选B.3.函数

的极值点为(

)A.0 B.-1 C.0或1 D.1答案

D解析

∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),由f'(x)=0,得x=0或x=1.又当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,∴1是f(x)的极小值点.又当x<0时