高中数学《简单复合函数的导数》课件

5.2.3简单复合函数的导数第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解复合函数的概念.(数学抽象)2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,是把两个或几个函数“复合”起来.怎样“复合”呢?复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.【知识梳理】

1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成

x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作

y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.名师点析

求复合函数的导数需注意以下几点:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量微思考函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示

是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.微练习(1)函数y=sin4x的导数为

.

(2)函数

的导数为

.

课堂篇探究学习探究一求复合函数的导数

反思感悟

复合函数求导的步骤

解

(1)令u=3x-2,则y=10u,所以yx'=yu'·ux'=10uln

10·(3x-2)'=3×103x-2ln

10.探究二复合函数求导与导数的运算法则的综合应用易错警示

此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.变式训练

2求下列函数的导数:(1)y=sin2x+cos2x;

素养形成等价转化思想在导数几何意义中的应用典例

已知P是曲线y=f(x)=x2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln

x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln

x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.变式训练

曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(

)答案

A解析

由题意,曲线y=ln(2x-1)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.设切点坐标为(x0,y0).

当堂检测1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(

)A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1答案

A2.(黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin2x+e2x,则f'(x)=(

)A.2cos2x+2e2xB.cos2x+e2xC.2sin2x+2e2xD.sin2x+e2x答案

A解析

因为f(x)=sin

2x+e2x,所以f'(x)=2cos

2x+2e2x.故选A.3.(福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(

)答案

A答案

A5.(江苏宿迁高二期中)函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为(

)A.0 B.1 C.3 D.4答案

D解析

因为y'=4(2x+1),所以函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为4×1=4.故选D.知