小学数学第六章　6.4.3　第2课时　正弦定理

第2课时正弦定理学习目标1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.一、正弦定理的推导问题1如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？问题2在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？问题3在△ABC中，asinA=bsin知识梳理1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即=2R(其中R为△ABC的外接圆半径).2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.(2)sinA=，sinB=，sinC=.(3)a∶b∶c=.(4)a+b+二、已知两角及任意一边解三角形例1在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，解这个三角形.跟踪训练1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B=2π3，C=π6，a=5，则此三角形的最大边长为(A.33 B.53 C.552 D.三、已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，已知c=6，A=45°，a=2，解这个三角形.延伸探究若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，则角A有几个值？跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=15，b=10，A=60°，则cosB等于()A.63或-63 B.C.63 D.(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=7，b=2，A=60°.①求sinB的值；②求c的值.四、三角形解的个数的判断例3下列三角形是否有解？有解的作出解答.(1)a=7，b=8，A=105°；(2)b=10，c=56，C=60°；(3)a=23，b=6，A=30°.反思感悟已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法(1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数.(2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解跟踪训练3不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a=5，b=4，A=120°；(2)a=9，b=10，A=60°；(3)b=72，c=50，C=135°.1.知识清单：(1)正弦定理及变形推论.(2)利用正弦定理解三角形.(3)三角形解的个数的判断.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是()A.a∶b=A∶BB.a∶b=sinA∶sinBC.a∶b=sinB∶sinAD.asinA=bsinB2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=43，b=42，B=45°，则A等于()A.60° B.120°C.60°或120° D.以上答案都不对3.在△ABC中，b=43，c=2，C=30°，那么此三角形()A.有一解B.有两解C.无解D.解的个数不确定4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=5，B=π4，cosA=223，则a

答案精析问题1sinA=ac，sinB=bc，可以变形写成c=asinA=又sinC=1，则上式可写成asinA=bsin问题2如图，在锐角△ABC中，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为π2-Aj与CB的夹角为π2-C因为AC+CB=AB，所以j·(AC+CB)=j·AB.由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB，即|j||AC|cosπ+|j||CB|cosπ=|j||AB|cosπ2也即asinC=csinA，所以asinA=同理，过点C作与CB垂直的单位向量m，可得bsinB=因此asinA=bsin当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为A-π2，j与CB的夹角为π2-仿照上述方法，同样可得asinA=bsin问题3如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=π2，连接AB'，则AB'=2R根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC，在Rt△AB'C中，bsin∠AB所以bsin∠AB'C即在△ABC中，有bsinB=2R同理，过B作BC的垂线BA'交圆于A'点，连接A'C，则有2R=asin∠B成立，过B作BA的垂线BC'交圆于C'点，连接AC'，则有2R=csin∠A成立，所以在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，2知识梳理1.正弦asinA=b2.(2)a2Rb(3)sinA∶sinB∶sinC例1解因为B=30°，C=105°，所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.又因为b=4，则由正弦定理，得asin45°=4sin30°=解得a=4sin45°sin30°=42，c=4sin105°sin30°=26+2跟踪训练1B例2解由正弦定理asinA=得sinC=csinAa=6∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°.当C=60°时，B=75°，b=csinBsinC=6当C=120°时，B=15°，b=csinBsinC=6综上，b=3+1，B=75°，C=60°或b=3-1，B=15°，C=120°.延伸探究解由正弦定理asinA=得sinA=asinCc=2×∵c=6>2=a，∴A<C=45°.∴0°<A<45°，且sinA=33，这样的角A只有一个，即A只有1个值跟踪训练2(1)C(2)解①由正弦定理asinA=可得7sin60°=2所以sinB=217②方法一根据条件，b<a，∴B为锐角，由①sinB=217，所以cosB=2所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×277+12×由正弦定理asinA=csinC方法二由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得(7)2=22+c2-2×2ccos60°，整理得c2-2c-3=0，解得c=3或c=-1(舍去)，所以c=3.例3解(1)由a=7，b=8，可得a<b，所以A<B，又由A=105°>90°，所以这样的三角形无解.(2)由b=10，c=56，可得b<c，所以B<C，又由C=60°<90°，所以这样的三角形只有一解.由正弦定理，得sinB=bsinCc=10sin60°所以B=45°，所以A=180°-(B+C)=75°，所以a=bsinA=10×6+24(3)由a=23，b=6，可得a<b，又由A=30°<90°，且bsinA=6sin30°=3，可得a>bsinA，所以这样的三角形有两解.由正弦定理，可得sinB=bsinAa=3所以B=60°或B=120°，当B=60°时，C=180°-(A+B)=90°，c=asinCsinA=当B=120°时，C=180°-(A+B)=30°，c=asinCsinA=所以B=60°，C=90°，c=43或B=120°，C=30°，c=23.跟踪训练3解(1)sinB=basin120°=45×32所以三角形有一解.(2)sinB=basin=109×32=而3