高中数学《变化率问题》课件

第五章

5.1.1变化率问题课程标准1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并会求解平均速度和瞬时速度.2.体会抛物线上割线与切线的关系,会求解抛物线上某点处的切线斜率.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1

平均速度与瞬时速度1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为

.

若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,平均速度变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同

瞬时速度

名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.过关自诊1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则

的值为(

)A.-0.11 B.-1.1C.3.89 D.0.29B解析

令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,2.[北师大版教材习题]某物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s=t2-1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:(1)t=0;(2)t=2;(3)t=4.估计当t=0时,瞬时速度为0

m/s;(2)当t=2,Δt无限趋近于0时,无限趋近于4,估计当t=2时,瞬时速度为4

m/s;

知识点2

割线斜率与切线斜率1.割线与切线的关系如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的

.

切线

2.割线斜率与切线斜率的关系

f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零

过关自诊1.如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现?提示

当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为(

)A.4 B.16

C.8

D.2C重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1.平均速度【例1】

某质点运动的位移s与时间t之间的关系为s(t)=-2t2+1,则该质点从t=1到t=2的平均速度为(

)A.-4 B.-8C.6 D.-6D规律方法

求物体运动的平均速度的三个步骤第一步:求时间的改变量x2-x1;第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);变式训练1[人教B版教材例题]已知某物体运动的位移xm是时间ts的函数,而且t=0.1时,x=0.25;t=0.5时,x=2.25.求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度.角度2.瞬时速度【例2】

某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.分析

变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.解

求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.∴物体的初速度为1

m/s.变式探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解

设物体在t0时刻的瞬时速度为9

m/s.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4

s时的瞬时速度为9

m/s.规律方法

求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).探究点二求解曲线在某点处的割线、切线斜率【例3】

设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(

)A.0 B.-1 C.3

D.-6 D规律方法

求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤

变式训练2曲线y=在点(1,1)处切线的斜率为(

)A.-1 B.0 C.1 D.2A本节要点归纳1.知识清单:(1)平均速度与瞬时速度的概念和计算.(2)曲线的割线与切线及其求解.2.方法归纳:局部以直代曲法,极限的无限逼近思想,数形结合思想.3.常见误区:(1)不会用极限的思想理解瞬时速度;(2)容易忽视函数平均变化率的符号.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123451.若一质点的运动位移s与时间t的关系可用s(t)=t2+1表示,则该质点在时间段[1,2]中的平均速度是(

)A.2 B.3

C.4

D.5B123452.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-3,则该质点在t=5s时的瞬时速度为(

)A.7m/s B.10m/sC.37m/s D.40m/sD12345A.9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的平均速度B.9.8m/s是物体从1s变到(1+Δt)s时物体的速度C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的瞬时速度D.9.8m/s是物体从1s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度C解析

当Δt无限趋近于0时,平均速度无限趋于该时刻的瞬时速度.123454.过曲线f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=

;当Δx=0.001时,割线的斜率k=

.

答案

2.1