《恒成立、能成立问题》课件

第五章

培优课❹恒成立、能成立问题课程标准1.了解利用导数研究存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决存在性问题和恒成立问题.重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一由不等式恒成立求参数的值(取值范围)当0<a<1时,φ'(x)=cos

x-a=0在区间(0,)上存在唯一解x0,当x∈(0,x0)时,φ'(x)>0,故φ(x)在区间(0,x0)上单调递增,且φ(0)=0,从而φ(x)在区间(0,x0)上大于零恒成立,这与sin

x-ax<0恒成立相矛盾.当a≤0时,在区间(0,)上φ'(x)>0,即函数φ(x)单调递增,又φ(0)=0,故sin

x-ax>0恒成立,这与sin

x-ax<0恒成立相矛盾.故实数a的最小值为1.规律方法

1.对不等式恒成立问题,常需对参数进行分类讨论,求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.变式训练1已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a>0).若f(x)<0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:探究点二不等式能成立求参数的值(取值范围)【例2】

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x∈[1,e]使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.解

(1)f'(x)=,当导函数f'(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,即a∉(1,2),所以实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln

x-x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x∈[1,e]时,ln

x≤1≤x(不同时取等号),x-ln

x>0,规律方法

1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.变式训练2[上海青浦期末]设a∈R,m∈Z,若存在唯一的m使得关于x本节要点归纳1.知识清单:(1)函数中的存在性问题.(2)函数中的恒成立问题.(3)函数的最值或范围问题.2.方法归纳:转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区:分离参数后检验等号是否能成立.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234A.{a|a>-1} B.{a|a<-1}C.{a|a<4} D.{a|a>4}D解析

由题意知,不等式x3-2x-a<0在[1,2]上恒成立,即a>x3-2x,令g(x)=x3-2x,则g'(x)=3x2-2>0在[1,2]上恒成立,即g(x)在[1,2]上单调递增,因此g(x)max=g(2)=4,故a>4.12342.已知函数f(x)=x2-2lnx,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]C.(-∞,1] D.(-∞,1)B解析

由题意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),则m≤f(x)max.∵f(x)=x2-2ln

x,∴f'(x)=2x-,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,则f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,∴实数m的取值范围是(-∞,e2-2].12343.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的取值范围为

.

答案

[1,+∞)12344.[重庆沙坪坝期末]已知函数f(x)=ex(x2+2ax+2a)(a∈R),其中e是自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;解

(1)f'(x)=ex(x2+2ax+2a)+ex(2x+2a)=ex[x2+(2a+2)x+4a]=ex(x+2a)(x+2),令f'(x)=0得x=-2a或x=-2,当-2a=-2,即a=1时,在(-∞,+∞)上f'(x)≥0,当且仅当x=-2时,等号成立,故f(x)单调递增,1234当-2a>-2,即a<1时,在(-∞,-2)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(-2,-2a)上f'(x)<0,f(x)单调递减,在(-2a,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增.当-2a<-2,即a>1时,在(-∞,-2a)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(-2a,-2)上f'(x)<0,f(x)单调递减,在(-2,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,当a<1时,f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,-2a)上单调递增,在(-2a,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增.1234当a<1时,f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增,1234类型1

单变量的任意、存在问题

B

B

0-极大值

.

.

【名师点评】不等式恒成立求参数取值范围问题的通法是采用分类讨论，但过程往往比较烦琐，计算量较大；当然也可以优先采用分离参数法，然而并非所有的问题都能奏效，尤其是遇到一些问题，其参数根本无法分离．这时候倘若能适当考虑区间端点的性质，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，那么即可求得结论.这种必要条