8.3 三重积分的计算法

17.3三重积分

计算三重积分的方法也是将它化为累次积分,即化为先定积分后二重积分或先二重积分后定积分的形式,从而化为三次积分,这两种方法称为”投影”法和”切片”法。7.3.1三重积分的定义2定义7.3.1

设f(x,y,z)是空间有界闭区域

上的有界函数。将

任意分成n个小闭区域

v1,

v2,…,

vn,

其中

vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。

在每个

vi上任取一点(

i,

i,

i)，作乘积f(

i,

i,

i)

vi(i=1,2,…,n)，3其中dv叫做体积元素。

在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分

，那末除了包含

的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域

vi为长方体。

设长方体小闭区域

vi的边长为

xj,

yk,

zl，则

vi=

xj

yk

zl。

在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz47.3.2直角坐标系下的三重积分的计算法基本方法：化三重积分为三次单积分dv=dxdydz1、

为母线平行于z轴的柱体时

假设平行于z轴且穿过闭区域

内部的直线与闭区域

的边界曲面S相交不多于两点。

一、投影法5

先将x，y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分。然后计算F(x,y)在闭区域D的二重积分

积分的结果是x,y的函数，记为F(x,y)，即6

若

在xoy平面上的投影区域记为Dxy，则有投影区域Dxy用不等式表示:

1(x)

y

2(x)，a

x

b

则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式：7

公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。上式的数学方法概括为：“先单后重法”，或“投影法”8xyo1解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)x+2y=1Dxy92、

为母线平行y轴或x轴的柱体时10zxoRxyzoHR11zxoRxyzoHR12xyzozyo11314xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)15xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)xyo1x+y=1Dxy16Hyxzo17yxzo18二、奇偶函数在对称区域上的积分性质1920

三、切片法又叫“先重后单法”

设区域

夹在平面z=c1，z=c2(c1

c2)之间zyxo

用竖坐标为z(c1

z

c2)的平面截

所得截面为Dz或D(z)，即21zyxo特别当f(x,y,z)只是z的函数：f(x,y,z)=

(z),②f(x,y,z)在Dz上对x、y的二重积分简单，①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：22解D0Dzzxyzaboc23D0Dzzxyzaboc①Dz是椭圆域，较简单②f(x,y,z)=z2只是z的函数用“切片法”较方便24D0Dyzxyabocy25xyzo1用“先单后重法”26用先重后单法。xyzo127解y4sinx关于x是奇函数xyzo

关于yoz平面对称，28用先重后单法。xyzo29用“先单后重法”xyxyzo307.3.3柱面坐标系下的三重积分的计算法

设M(x,y,z)为空间内一点一、柱面坐标

并设点M(x,y,z)在xoy面上的投影P的极坐标为(ρ,

,0)。

这样的三个数ρ

,

,z就叫做点M的柱面坐标。xyzoρ

zxyM(x,y,z)310

ρ<+∞，0

2π，－∞<z<+∞xyzoρ

zxyM(x,y,z)②三组坐标面分别为ρ

＝常数，即以z轴为轴的圆柱面；

＝常数，即过z轴的半平面；z＝常数，即与xoy面平行的平面；①规定ρ

、

、z的变化范围为：32③点M的直角坐标与柱面坐标的关系为：xyzoρzxyM(x,y,z)④柱面坐标系中的体积元素dρdzxyzod

ρd

ρ33二、柱面坐标中三重积分的形式34yxzo1a35o1xy36373839解法三4041何时选用柱面坐标计算三重积分？4243444546477.3.4球面坐标系下的三重积分的计算法一、球面坐标M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo48M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo49r=常数，即以原点为心的球面。

=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。

=常数，即边z轴的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo50zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo④球面坐标下的体积元素51

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r=常数，

=常数，

=常数把积分区域

分成许多小闭区域。

考虑由r,,各取得微小增量dr,d

,d

所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。xyzo

d

rd

drrd

52xyzo

d

rd

rd

经线方向的长为rd

,这就是球面坐标系中的体积元素。纬线方向的宽为rsin

d

,于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为dr。53二、

三重积分的球面坐标形式

计算三重积分，一般是化为先r，再

，最后

的三次积分。54例如，半径为R的球体的体积5556xyz2RoR

57xyzo

58

zxyo1

59xyzo

60xyz1o

61xyzo

62yxzo63yxzo64yxzo解法二用柱面坐标系65yxzoyxzo66

abcxyzo67

abcxyzo6869xyzo170xyzo171xyzo172小结三重积分的计算方法：基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：(1)坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限73柱形体域锥形体域抛物体域柱面坐标长方体四面体任意形体球面坐标球形体域或其中一部分直角坐标坐标系适用范围体积元素变量代换74三重积分习题课基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：(1)坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限75

要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。

对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出

的图形。如

的图不好画，也要画出

在某坐标面上的投影区域的图形。76

1、利用直角坐标系计算三重积分。(1)“投影法”又叫“先单后重法”

设

往xoy平面上的投影区域为Dxy，过Dxy内任一点而穿过

内部的平行于z轴的直线与

的边界曲面至多两个交点，则

适用性较广，要有一定的空间想象力。

对z积分后的结果F(x,y)作为被积函数在Dxy上作对x、y的二重积分。77

这时再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺序。“先单”的“单”选哪一个变量？

往另两个坐标面上投影的情况与此类似。依被积函数f(x,y,z)及积分区域

共同确定。78

设

夹在平面z=c1和z=c2之间，竖坐标为z的平面(c1

z

c2)截

所得截面记为Dz，则有通常选用此法时应满足：①Dz较简单：圆、椭圆、矩形、三角形等，容易算得其面积；(2)“截面法”又称“先重后单法”、“切片法”。792、柱面坐标系下计算三重积分

计算可分“两步走”，化为三次积分则应一次完成。803、球面坐标系下计算三重积分。

有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单的方法。814、三重积分中的对称性的应用。类似地：…

1是

的z

0的部分(1)设

关于平面xoy对称。82(2)设

关于原点O对称，

1是

的z

0(或x

0，或y

0)的部分，则83(3)若

关于变量x,y,z具有轮换对称性，即若(a,b,c)

Ω,则(b,c,a)

Ω,(c,a,b)

Ω则有84使用对称性时应注意：1、积分区域关于坐标面的对称性；2、被积函数在积分区域上的关于三个自变量的奇偶性。①被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零.②若被积函数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重积分为

在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.例如：当积分区域

关于平面xoy对称。85解

Ω关于直线x=y=z对称Ω对于x、y、z具有轮换对称性。例1利用对称性计算下列三重积分。zxyo86xyzoa87解xyzoa88解其中xy+yz是关于y的奇函数,且

关于xoz面对称,zxyo89zxyo又因为xz是关于x的奇函数,且

关于yoz面对称,由对称性知在柱面坐标下：90zxyo91Oxyz（利用球面坐标）921xyzo939495(2)Ω由z=x2+y2，y=x2，y=1，z=0所围成的闭区域96解选用柱面、球面坐标不容易化成三次积分。zxy

因为双曲抛物面xy=z与平面z=0的交线为x轴,y轴，所以97Dxy：x2

y

1,－1

x

1zyx1yxo1-1(2)Ω由z=x2+y2，y=x2，y=1，z=0所围成的闭区域

9899100101旋转面方程为:102103104解oxyz1105例8证明曲面z=x2+y2+1上任一点的切平面与曲面z=x2+y2所围立体的体积为定值。

证明设M0(x0,y0