7.3 多元复合函数的高阶偏导数

17.3多元复合函数求导法7.3.1多元与一元的复合7.3.2多元与多元的复合7.3.3多元复合函数的高阶偏导数7.3.4微分求导法——一阶微分形式不变性27.3.1多元与一元的复合证明1自变量只有一个的情况7.3多元复合函数求导法345

注1上面定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.例如2以上公式中的导数称为全导数.u,v,w为t的函数。62当仅有一个中间变量时uzxy7解

这种多元初等函数的偏导计算可不必用以上方法，而直接利用一元函数的求导法则计算。

8例2证明9

定理7.3.1可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：7.3.2多元与多元的复合10链式法则如图示

链式法则：“连线相乘，分线相加”11

注1上述公式可推广：中间变量及自变量的个数可增加或减少。例如xytzuv2当复合函数中自变量与中间变量共存时设z=f(u,x,y)具有连续偏导数，12变量关系图：uzxy或zuvwxy(v≡

x)(w≡

y)两者的区别区别类似z=f(u,x,y)13解注也可由z=exysin(x+y)而直接对x、y求偏导。注意两种方法的区别。14而z=x2siny。求

解：

例4

157.3.3多元复合函数的高阶偏导数

通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数解令记同理有16于是17设z=f(u,v)具有连续的偏导数，则有7.3.4微分求导法——一阶微分形式不变性18由此可见，不论z是自变量u、v函数，或是中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的，都是这个性质叫全微分形式的不变性。

利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。19解20小结

本节主要讨论了多元复合函数的概念。

本节要求理解多元复合函数的概念；熟练掌握多元复合函数（特别是抽象函数）的一阶、二阶偏导数的计算。习题7—３21第一次习题课一、内容及要求

1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义.2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性.4理解多元函数连续、可导、可微的关系．

3能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.225熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）注：多元复合函数的偏导数变量关系图

uvzxy则有

链式法则—“连线相乘，分线相加”（1）23（2）几种变形

uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：

24(iii)中间变量与自变量混合存在:xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v不管是自变量还是中间变量，有（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx,Zxy,Zyy

时应该注意到fu

,

fv仍是复合函数.256熟练掌握隐函数的偏导数的计算（2）方程组的情形(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。

求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数).

一般：变量个数－方程个数=自变量个数

（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:

26二、典型例题分析

1、选择与填充（A）不连续（B）偏导存在(C)可微2728例２解2930例3解3132例4设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求

解zxyuxy33例5解34例6证明35代入得证。36例7证明：两端求对x的偏导数，得

两端同乘以x2z2：两端求对y的偏导数：

两端同乘以y2z2：(1)式+(2)式

37例8解：方程两端求对x的偏导数，有解得

方程两端求对y的偏导数，有38或利用全微分形式的不变性求偏导

整理可得由此可求得39

也可利用公式，令：于是40例9.设，其中f、g具有一阶连续偏数，

解所给方程两端对x求偏导，得

整理可得

4142例10.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)43t是F(x，y，t)=0确定的x、y

的函数，由隐函数求导法知

将（3）式代入（2）式，并从中解出即得所欲证之等式。