四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试五数学试卷（A）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试五数学试题（A）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=y∣y=2x3,−1≤x≤1,B=x∣a−xA.4 B.2 C.2 D.2.复数(1+1i)2A.−2i B.2i C.−2 D.23.等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S8<A.a9+a10=0 B.a10<0

C.S174.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩(最低分为50分，满分100分)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是(

)

A.[90,100]对应矩形的高度为0.016 B.样本众数估计值为75

C.样本平均数估计值为77.4 D.样本成绩的第70百分位数落在[70,80)内5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0∘≤θ<90∘)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，βA.14倍 B.34倍 C.54倍 6.从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有(

)A.15种 B.18种 C.24种 D.30种7.已知在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=6A.1 B.2 C.3 8.设a=2π，b=log2πA.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中错误的有(

)A.sinπ4′=π4cosπ4

B.fx=2tanx1−tan2x的最小正周期为π

C.平面直角坐标系中到点1,010.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N,O分别为AB,CC1,A1CA.异面直线MN与A1C1所成角的余弦值为32

B.当点P为棱AA1的中点时，直线PO与直线MN平行

C.若保持|MP|=2，则点P在侧面ADD1A11.已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x+1=0.过点(0,−1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两个不同的点，O为坐标原点.过点A作x轴的垂线，交直线OB于点D.则下列说法正确的是A.曲线C的方程是y2=2x

B.k的取值范围为(−12,+∞)

C.若k>m，则OA⋅OB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设e1,e2是平面内一组基向量，且a=e1+2e2,13.已知椭圆Γ1：x2a2+y22=1(a>2)与椭圆Γ2：y2b2+3+x2b14.已知函数fx=x−m2x+2x+2m−4有三个不同的零点x1,x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠BAC=120∘，AD为∠BAC的角平分线，且(1)若sinB=2sinC(2)设M为BC中点，连接AM，▵ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度．16.(本小题15分)如图，PB是圆柱OO1的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点(E，F不与端点重合)，且(1)证明：AE⊥平面PBF；(2)已知圆柱OO1的体积为2π,PB=4，点A到直线PF的距离是1.求CE17.(本小题15分)在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，直线l:x=ty−2交双曲线C:x2−y24=1于A、B两点(yB>yA>0)(1)求双曲线C的渐近线方程和焦距;(2)若线段AB上一动点N满足|AN||BN|=|AP||BP|，求直线OM18.(本小题17分)甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙，若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲，若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲，若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中．(1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为X，求X的分布列和数学期望；(2)抛掷n次骰子后n∈N∗，玩具在乙手中的概率为p(3)求证：．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−a，a∈R．

(1)当a=0时，证明：f(x)≥1+lnx+1x．

(2)若存在三条不同的直线li(i=1,2,3)，li既是曲线y=f(x)的切线(切点为Ai)，又是曲线y=sinx(−π<x<π)的切线(切点为Bi).

(i)求实数a的取值范围；

(ii)是否存在i参考答案1.A

2.A

3.C

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.AC

10.AD

11.ACD

12.2313.514.5

15.解：(1)由正弦定理bsinB=csin因为AD平分∠BAC，∠BAC=120∘由三角形面积关系：S▵ABC即12代入AD=4，sin120将b=2c代入上式：2c2=4(3c)，解得c=6由余弦定理：a2故a=6(2)由bc=4(b+c)，根据基本不等式b+c≥2bc，得设bc=t(t>0)，则t2−8t≥0，解得当且仅当b=c=8时，bc取得最小值64，▵ABC面积最小．此时b=c=8，∠BAC=120因为M为BC中点所以AM=两边平方得|AM代入|AB|=c=8，|AC得|AM|216.解：(1)在正方形ABCD中，由CE=DF，得BE=CF，tan∠BAE=则∠BAE=∠CBF，∠BAE+∠FBA=∠CBF+∠FBA=90∘，因此由PB是圆柱OO1的母线，得PB⊥平面ABCD，而AE⊂平面ABCD，则又BF∩PB=B,BF,PB⊂平面PBF，所以AE⊥平面PBF．(2)设圆柱OO1的底面圆半径为r，圆柱OO1的体积为解得r=22，则AB=BC=1以点B为原点，直线BA,BC,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,4)，设BE=t(0<t<1)，则E(0,t,0),F(t,1,0)，AP=(−1,0,4),PF=(t,1,−4)，由点A到直线PF得|AP|2−(即3t−45t−4=0，而0<t<1，解得所以CE=BC−BE=1−417.解：(1)双曲线C:x2−y24=1，得a=1，b=2

可得双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，

又c=a2+b2=5，

所以焦距为2c=25．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x=ty−2x2−y24=1，可得(4t2−1)y2−16ty+12=0，

则Δ=(−16t)2−4(4t2−1)×12=64t2+48>0，

所以y1+18.解：(1)由题意知，X=0,1,2,3，P(X=0)=1P(X=1)=13×12×13所以随机变量X的分布列为，X

0123P

1185181027827随机变量X的数学期望为E(X)=0×(2)由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1−pn，

此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有故有pn+1=变形为pn+1又p1=13，所以数列pn所以pn所以数列pn的通项公式p(3)证明：由(2)可得pn所以，

，所以．19.解：(1)证明：当a=0时，f(x)=ex．

设g(x)=f(x)−1−lnx+1x=(ex−1)−lnx+1x,x∈(0,+∞)，

m(x)=ex−x−1，则m′(x)=ex−1，是增函数，

当x∈(−∞,0]时，m′(x)≤0，m(x)单调递减；

当x∈[0,+∞)时，m′(x)≥0，m(x)单调递增，

因此m(x)≥m(0)=1−0−1=0，即ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号)，

因此g(x)=(ex−1)−lnx+1x=1x[xex−(x+lnx+1)]

=1x[ex+lnx−(x+lnx+1)]≥1x[x+lnx+1−(x+lnx+1)]=0，

当且仅当x+lnx=0时取等号，

因此f(x)≥1+lnx+1x(当且仅当x+lnx=0时等号成立)；

(2)(i)设直线与曲线y=f(x)切于点(x1,ex1−a)，与曲线y=sinx(−π<x<π)切于点(x1′,sinx1′)，

因为f′(x)=ex−a，(sinx)′=cosx，

因此曲线y=f(x)的切线方程为y−ex1−a=ex1−a(x−x1)，

曲线y=sinx(−π<x<π)的切线方程为y−sinx1′=(x−x1′)cosx1′.

于是问题等价于ex1−a=cosx1′①ex1−a−x1ex1−a=sinx1′−x1′cosx1′②有三组解．