函数图形的描绘

3.5函数图形的描绘3.5.3函数作图3.5.2曲线的渐近线3.5.1曲线的凹凸性与拐点3.5.1

曲线的凹凸与拐点

1．

曲线凹凸的概念问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义

2．

判定方法定理1证明：设x1、x2是[a,b]上任意两点，x1<x2，由泰勒公式：设两式相加，有即

注1：如y=f(x)在[a,b]上的图形是凸（凹）的，则有更一般的结论。等号仅当x1=x2=…=xn时成立。注2.可用凹凸性可证明不等式

所以曲线y=lnx在(0，+∞)上是凸的。任取xi>0（i=1，2，…，n），则有于是有例1解注意到,定义：连续曲线凹凸的分界点称为曲线拐点。曲线y=x4是凹的。从上例中知，在拐点处注：(1)

并不是所有二阶导数为0的点都是拐点。(2)

拐点也不只是二阶导数为0的点。3.曲线的拐点、凹凸性及其求法设f(x)在[a，b]内连续，(或求出连续区间）(2)求在(a,b)二阶导数为0的点和二阶导数不存在的点(3)在（2）中解出的每一个点x0把定义区间分成几部分例2解凹的凸的凹的拐点拐点3.5.2曲线的渐近线1.铅直渐近线定义:例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意:例1解3.5.3函数图形的描绘的步骤第一步第二步利用函数特性描绘函数图形.第三步第四步

确定函数图形的水平、铅直渐近线、(斜渐近线);第五步例1解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:

作图举例拐点极大值极小值例2解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点小结最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.

第3章

第二次习题课

一、内容与要求1、掌握函数f(x)的单调性的判断方法；会求函数f(x)

的极值。2、会用单调性证明不等式以及判别根的存在性与个数。3、掌握求函数f(x)的最值的方法，掌握解决最值的应用题的方法，会用最值证明不等式。4、掌握曲线凹凸性的判断方法；会求曲线的拐点；会用凹凸性证明不等式。5、会求曲线的渐近线，会作出函数的图形。二、典型例题1、填空与选择的连续性及导函数(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作的示意图.单调增区间为

;

.在区间

上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间

上是凹弧;则函数

f(x)的图(2)

设函数的图形如图所示,提示：利用及原点附近极限的保号性(1)证明不等式：证明：欲证的不等式而证毕。2.利用单调性证明不等式(4)

设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:

设则所以当令得即所证不等式成立.3.极值、最值问题当0<x<e时，当x>e时，所以f(1)<f(2)，f(3)>f(4)>…即f(x)单增f(x)单减AB4.利用最值证明不等式：证5.利用凹凸性证明不等式6．讨论方程实根的个数及范围。解令f(x)=lnx

－ax，则如果－lna

－1<0，即方程无实根；(1)．讨论方程lnx=ax（a>0）有几个实根。如果－lna

－1=0，即

方程有一个实根x=e此时方程有两个实根。(iii)如果－lna

－1>0，即(2)设在上可导