函数的单调性与极值

3.4函数的单调性与极值3.4.3函数的最值3.4.2函数的极值3.4.1函数的单调性定理3.4.13.4.1函数的单调性1单调性的判别法证明应用拉氏定理,得注定理中的闭区间可换成其它各种区间，结论仍成立。

例1

研究y=x

－

sinx

在[0，2π]上的单调性。解：显然f（x）=x

－

sinx

在[0，2π]上连续，在[0，2π]内可导，所以f(x)=x

－

sinx

在[0，2π]上单调增。例2解注(1)y=f(x)的单调性在未指定区间时，应在其有定义的区间上讨论。(2)界点的归属：两侧区间皆可(当f(x)连续时)例如,存在不可导点时的单调性的讨论例3解单调区间为4单调区间的求法由以上讨论知：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:(1)

求f(x)的定义域、连续区间例4解列表讨论单调增区间为单调减区间为导数为零的点：x=0,导数不存在的点：x=a,x=-a

+不存在xf(x)-a(-a,0)0(0,a)a_不存在+0_—单调减区间为：单调增区间为：例6证5

利用单调性证明不等式注:(1)证明中f(0)=0不可少，仅只能推出f(x)在(0，+∞)上单调增，(2)f(x)在x=0处必须连续。但不能推出f(x)>0。6研究方程根的存在性及根的个数方法

(1)先求出f(x)的单调区间。(2)判别每个单调区间的端点的函数值（或极限）的符号。(3)根据零点定理：若两端点的值一正一负，则在此区间内有唯一实根，其余则无实根。例8

证明：当a2－3b<0时，f(x)=x3+ax2+bx+c=0有唯一的实根。证明：△=4a2

－12b=4(a2－3b)<0所以对任何实数x，有又所以f(x)在(－∞，+∞)内有唯一的实根。故f(x)单调增。解3.4.2

函数的极值1

函数的极值的必要条件

定义3.4.1由费马引理及它的注可知:2)极值点也不一定是驻点.3)可能极值点：驻点，导数不存在点。可导函数的极值点必为驻点(必要条件)，但驻点不一定是极值点。2

函数的极值的充分条件定理3.4.3(第一充分条件)3求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值导数为零的点：x=0,导数不存在的点：x=a,x=-a

+0极小不存在极大0极小f(x)xf(x)-a(-a,0)0(0,a)a_不存在+0_—y的极大值为y=y(0)=y的极小值为y=y(a)=y(-a)=0定理3.4.4(第二充分条件)证同理可证(2).例3解注意:例4求由方程所确定的隐函数在内的极值点。解：在方程两边对求导得：将此式代入原方程得：在(1)式两边对求导得：将代入（2）得：所以是隐函数的极小值点，极小值为3.4.3

函数的最大最小值1

函数的最值的求法第一种情况应到端点、驻点、不可导点中去找。因此求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;如f(x)在区间Ix(开、闭、有限、无限)内可导，且有唯一的驻点x0

，则如f(x0)是极大(小)值，也必然是最大(小)值。第二种情况O

a

x0b

x

y=f（x）yO

ax0

bx

y=f（x）y例1解计算2应用举例比较得3实际问题求最值(1)建立目标函数并确定定义域;(2)求最值;例3作一个上下都有底的圆柱形铁桶，容积为V0（常数），问底半径r=？时表面积最小。解：V0=πr2h

，目标函数由问题的实际意义知S(r)的最小值一定存在，而在(0，+∞)内有唯一驻点，例4某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月x

元，租出去的房子有每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为小结

本节要求：

1)掌握判断函数f(x)的单调性的方法

2)会求函数的单调区间

3)会用单调性证明不等式

4)会判别根的存在性与个数

5)掌握求函数f(x)的极值与最值的方法，掌握解决最值的应用题的方法

第3章

第二次习题课

一、内容与要求1、掌握函数f(x)的单调性的判断方法；会求函数f(x)

的极值。2、会用单调性证明不等式以及判别根的存在性与个数。3、掌握求函数f(x)的最值的方法，掌握解决最值的应用题的方法，会用最值证明不等式。4、掌握曲线凹凸性的判断方法；会求曲线的拐点；会用凹凸性证明不等式。5、会求曲线的渐近线，会作出函数的图形。二、典型例题1、填空与选择的连续性及导函数(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作的示意图.单调增区间为

;

.在区间

上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间

上是凹弧;则函数

f(x)的图(2)

设函数的图形如图所示,提示：利用及原点附近极限的保号性(1)证明不等式：证明：欲证的不等式而证毕。2.利用单调性证明不等式(4)

设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:

设则所以当令得即所证不等式成立.3.极值、最值问题当0<x<e时，当x>e时，所以f(1)<f(2)，f(3)>f(4)>…即f(x)单增f(x)单减AB4.利用最值证明不等式：证5.利用凹凸性证明不等式6．讨论方程实根的个数及范围。解令f(x)=lnx

－ax，则如果－lna

－1<0，即方程无实根；(1)．讨论方程lnx=ax（a>0）有几个实根。如果－lna

－1=0，即