2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01（考试版A4及参考答案）

1/22026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知命题，，那么为（

）A．， B．，C．， D．，3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，5．已知，则（

）A． B． C． D．16．已知，则（

）A． B． C．1 D．47．已知，，，则（

）A． B． C． D．8．已知向量的夹角为，则（

）A． B． C． D．489．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（

）A．B．C．D．10．函数的一个对称中心为（

）A． B．C． D．11．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（

）A． B． C． D．13．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（

）

A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2．25小时D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间14．一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（

）A． B． C． D．15．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（

）①2张卡片都不是蓝色；②2张卡片恰有1张是蓝色；③2张卡片至少有1张是蓝色；④2张卡片至多一张为蓝色．A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）16．函数的定义域为__________．17．已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______．18．某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩9．27．98．56．85．27．28．18．2这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________．19．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________．20．已知实数，满足，则的最小值为_____．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分10分）已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．22．（本小题满分10分）已知向量，(1)若，求的值；(2)当时，求；(3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围23．（本小题满分10分）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求三棱锥的体积．24．（本小题满分10分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的解析式并直接写出的单调区间；(2)当时，求的最小值的解析式．

2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是由既属于又属于的元素所组成的集合，所以．2．已知命题，，那么为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案．【详解】原命题，，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以为，．3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，所以，即．即，所以．所以不等式的解集是．方法二：，得或，解得或．所以不等式的解集是．4．下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误；对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误；对于D，的定义域为，的定义域为，，所以表示同一函数，D正确．5．已知，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】因为，所以，上下同除即可得，代入，可得．6．已知，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】B【详解】由得，，所以．7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较．【详解】由对数函数性质可知，；由指数函数性质可知，，因为且，所以；又，因为且，所以．综上所述，．故选：A．8．已知向量的夹角为，则（

）A． B． C． D．48【答案】B【分析】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案．【详解】因为，所以，即，则，所以，解得，所以．9．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D．【详解】对A：由，则，则，由、，与矛盾，故不存在这样的三角形，故A错误；对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定，故该三角形有且只有一个，故B正确；对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误；对D：，则，故满足题意的三角形有两个，故D错误．10．函数的一个对称中心为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】令，则有，故函数的一个对称中心为．11．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项．【详解】已知，，因此是奇函数，图象关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B；当时：，故；同时，因此负数正数，即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合．12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以，，所以．13．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（

）

A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2．25小时D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】计算超过3小时的频率可判断A；利用直方图求出超过2小时的概率可判断B；求出众数可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D．【详解】对于A，超过3小时的概率估计为：，A正确；对于B，超过2小时的概率估计为：，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，B正确；对于C，由图知众数约为（小时），C正确；对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D错误．故选：D．14．一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设“恰有两个是黑球”为事件，由古典概型概率计算公式，．15．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（

）①2张卡片都不是蓝色；②2张卡片恰有1张是蓝色；③2张卡片至少有1张是蓝色；④2张卡片至多一张为蓝色．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可．【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况，设（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）．设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件，则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，，和是互斥不对立事件，故①正确；②设2张卡片恰有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色），则，，和是互斥不对立事件，故②正确；③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（蓝色，蓝色），则，，得到和是不互斥不对立事件，故③不正确；④设2张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色），（红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，，得到和是对立事件，故④不正确．故选：B．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）16．函数的定义域为__________．【答案】【分析】应用正切函数定义域计算求解．【详解】因为，所以，所以函数的定义域为17．已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______．【答案】或【分析】设垂直的单位向量的坐标为，根据求模公式及向量垂直的坐标关系，即可求得答案．【详解】设垂直的单位向量的坐标为，则，整理得，解得，，且，所以与垂直的单位向量的坐标为或．18．某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩9．27．98．56．85．27．28．18．2这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________．【答案】7【分析】先排序，再利用百分位数的计算方法即可求解．【详解】先将这8个数据从小到大排序：5．2，6．8，7．2，7．9，8．1，8．2，8．5，9．2，因为，所以这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为．19．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________．【答案】【分析】由正弦定理直接求解即可．【详解】由正弦定理得，，因为，所以，则为锐角，所以．20．已知实数，满足，则的最小值为_____．【答案】3【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得．【详解】设，因，则，且，因，当且仅当时取等，即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分10分）已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，，，所以．所以．（2）因为，所以．（3）因为所以．22．（本小题满分10分）已知向量，(1)若，求的值；(2)当时，求；(3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）条件可转化为，解方程即可；（2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解；（3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论．【详解】（1）由题设，得，即，所以．（2）当时，，所以故．（3）由题设，，故，当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角为锐角，综上，或．所以的取值范围为．23．（本小题满分10分）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)8【分析】（1）根据线面