2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（考试版A4及参考答案）

1/22026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则中的元素个数是（

）A．7 B．8 C．9 D．102．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知不等式的解集是，则的值是（

）A．1 B． C．0 D．24．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．1 C． D．25．（

）A． B． C． D．6．（

）A．e B． C． D．7．已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．8．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（

）A． B． C． D．10．当时，曲线与的交点个数为（

）A．5 B．7 C．9 D．1111．已知函数的零点分别为，则（

）A． B． C． D．12．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．13．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始．已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：甲地：中位数是27，平均数是26．乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10．4．丙地：中位数是24，众数是22．则由此判断一定进入夏季的地区是（

）A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地14．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（

）A． B． C． D．15．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（

）A．与互斥 B．与对立C．与相互独立 D．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）16．函数，的值域为________．17．已知向量，，满足，则_____．18．为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则（1）______；（2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研．19．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______．20．已知，，，则的最小值为________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分10分）已知，求(1)；(2)(3)．22．（本小题满分10分）已知复数满足．(1)求；(2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值．23．（本小题满分10分）如图，长方体中，，点P为的中点．(1)求三棱锥的体积．(2)求证：直线平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值；24．（本小题满分10分）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”．(1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：；(3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由．

2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03参考答案一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号123456789101112131415答案BBCADCBADBBABDD二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）16、17、18、19、220、36三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21.（本小题满分10分）【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，代入可得．（2），化简可得，因为，，代入可得．（3），因为，，代入可得．22.（本小题满分10分）【答案】(1)(2)，．【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；（2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解．【详解】（1）设，因为，则，故．得，故；（2）因为是实系数一元二次方程的一个根，若，则也为实系数一元二次方程的一个根，故，解得，故．23.（本小题满分10分）【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解；（2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明；（3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算，最后根据余弦定理即可求解．【详解】（1）．（2）设，连接，因，且为长方体，则四边形为正方形，故为线段中点，因点P为的中点，则为的中位线，则，又平面，平面，则平面．（3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角，因，点P为的中点，则，，在中，，在中，，在中，，在中由余弦定理得，，故直线与所成角的余弦值为．24.（本小题满分10分）【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明；（3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可．【详解】（1）在上单调递增，理由如下：证明：任取，且，，则因为，故且于是，即，所以在单调递增（2）依题意得，，即，整理得因为，所以，即又依题意m，，故因为，故等号不成