大学《高等数学》考试复习练习题及答案 (五)

习题课五

一、选择题

1.设函数/（〃）可导，尸”？）当自变量工在4―1处取得增量以=-0.1时，相

应的函数增量△），的线性主部为0.1,则广⑴=（D）

(A)-1；(B)0.1；(C)1；(D)0.5o

解：・・・0.1=dyX7=2矿=2(-1):⑴(-0.1)=0.2/⑴,

加=-0.1尿=-0.1

・・・八1)十0.5。

2.设/(幻=31+工2N，则使/⑺⑼存在的最高阶导数的阶数〃为(C)

(A)0；(B)1；(C)2；(D)30

4X3,X>0

解：/W=

2X3,X<0

V.

/（0）=/"（0）=0,先（0）=241广（0）=12,从而〃（0）不存在。故选（C）o

二、求相关变化率

1.落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是

6m/s,问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？

解：设圆的半径为R,圆的面积为S,贝IJS=TIR2,—=2K/?—,

dtdt

当1=2时、R=6x2=12,当=6,故乳=2=2兀如2乂6=144兀（苏/5）・

2.溶液从深15c7〃，顶直径12c7〃的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形

容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液

面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？（教材

P136第10题）

解：设在时刻/漏斗中溶液的深度为力⑺，液面半径为小圆柱形容器中溶液的

深度为出⑺。由得「=也,

6155

依题意工兀・62」5—工兀=71-52-/?2，

即162・15-L&%3=52也,

332512

从而一巴〃，.dhi力帆,

25dtdt

也.」..也

又当〃1=12时,=-1,122=25，得*券0M）。

dt25dt

答：圆柱形容器中液面上升的速率为0.92。%^。

2.一飞机在离地面2%根的高度，以200%/4力的速度飞行到某目标上空，以便进

行航空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。

解：设飞机与目标的水平距离为尤32.

XX

cotO--,0-ez/rcot—,

22

deii(ix

dtl+(-)22dt

2

把x=0,竺二-200•〃2代入上式，得:

dt

^=-l.l.(-200)=100(ra6///2)=—(raJ/5)o

dt236

二、填空题

x=tcostd2y2+J

1.设,则23

y=rsinZdx1(cosz-zsinr)^

切dysinr+rcosrd2y/sinr+rcosr,dt2+t2

斛：区=后荷7h-------------)----

cosr-rsinr1dx(cos/-/sin/)3

2.设y=/(cos2©+tanx2,其中f可导，则@=-sin24(cos2>r)+2«xsec2x2.

dx--------:--------------------------

3.已知函数y=y(x)由方程+6孙+工2-1=0确定，则y"(0)=-2。

解：当x=0时、y(0)=0o

//6尸6P'+2x=0/(0)=0,

.y，.V+/.),〃+6v+6V+6孙”+2=0*U22迎3y”(o)=_2o

4.设“幻=1,则/(x)=。

x-1乙(X-l)(X+l)

解：/(x)=-^—=i+^!—=i+K--!-),

x-\x-\2x-\x+1

S)(x)=J(T)"矶1

(X+I严」

乙(1严

5.设/(x)=/1n(i+x),则/(〃)(o)=k12__

几一2

解：(x)=[ln(l+x)](,?)x2+/i[ln(l+x)](n-1)-2x+Z2(^~1)[ln(l+x)](n-2)-2,

[ln(l+x)](〃)=(—l)〃T(%—l)!(l+x)f,

故N)(x)=(T)"T(〃T)f+2〃x(-1)'%"1+“(—(-产(3)!,

.(l+x)〃(1+X)〃T(i+x)〃-2

/5)(0)=(-1产39_1)(〃_3)!=(-1)J

n-2

三、求下列函数的导数?

ax

[J(T)

1.y=x

解：lny=e"7)*lnx,

■L.y=e〃r)•/，(-^.(-。.仙工十^/"")•—,

-/r(-x)lnx]。

x

c12x

2.y=—arccot------.

2-2

o7o

绍力1「12x、，1(1一厂厂2(l-x-)-2x(-2x)

解：—=----------1v(----7)=-T----厂7---------K------

dx2]|(2x/1-x22(1+x2)2(IT)

1-x2

2

__J_(I—//2.(1+X)___1_

2(1+x2)2(1-x2)21+x2°

aax

3.y=x+a+a

解：y=aaxn+a"lna(x")，+a"lna(“'y

aaa-\,xaia-\.axix«

=ax+aina-ax+aInaaIna

4.已知y=\nxsinx,

解：y=—ln(l-e-')+—InA+—Insinx

“422

,e1cosx111,/兀、11

y=--------+—+-----=-------+—+-coU，y(―)=-----------+-

4(1-e-A)2x2sinx4("一1)2x22ZETI

4(/_i)

ux+y,sinx

5.y=e-+x

解:sin.vln.v

dy8mm(cosxlnx+sinx，),

石x

x+y,sinxlnx/),­1、

+e(cosxlnx+sinx—),

x

x+ysinxziS1T1X

e+x(cosxlnxH--------)

dyx

dx

x=a(lntan-+cosr)八八.、十力

6.已知42(6f>0,0<t<K),求一。

•,dx

y=asmf

Qj/Ii-4cos2t,...

•dx=a(sint)dt—dt,dy—cicosZu/,

sinrsinr

dyacostdt

9—=tanro

dxt7COS-t

dt

sinr

四、求高阶导数

1.设产sinl/f）］,其中f具有二阶导数，求

dx1

解：—=2V，U2)COS[/(J2)J

dx

.2

-4=2/r(x2)cos[/(，)]+4"(~)COS[/(?)J-4X2[/(/)]2sin[/(x2)]

dx1

"J

2.设/Q)=/(XT)〃COSY，求/5)⑴。

Q心口!

解:解〃)⑴=1〃•cos

42

3.已知尸sin23x.cos5x,求y(〃)

l-cos6x_11_11..1

解：尸-------cos5x=—cos5cx——cos6xxcos5x=—cos5cx——cosllx——cosx,

222244

(/?)1厂〃々〃兀、1ttnc,"汽、1/nit、

y=——5cos(5x+—)---11cosfllx+—)——cos(r+—)。

224242

3咤4%为正常数），讨论％为何值时存在二阶导数广（0）。

4.已知/(%)='

0,x=0

解：/■,(())=lim9M=limH=limxlsinL

x-0x—0Xxf0X

要使尸(0)存在,必须左>1。且当使>1时,尸(0)=0。

当xwO时.，/r(x)=sin--x^-2cos—,

xx

-1-2

.r,(、1^sin--x^cos-,x^O

・・/3)='xX(攵〉1),

[0,x=0

rf/、p，m、k^sin—2cos一11

*.*/"(())=lim---------=lim-------------------------=limkxk~2sin——xK-3cos—,

A-^0x-0x-^0Xx->0XX

・•・要使/"(0)存在，必须Q3。

五、证明题

证明方程元〃+x"」+…+/+]-1=0在(0,1)内必有唯一实数根X”，并求limxno