初二垂直平分线与角平分线提高学案

同学们，垂直平分线与角平分线是平面几何中的重要工具，它们不仅自身性质独特，更是解决许多复杂几何问题的关键“桥梁”。掌握好这两部分内容，能帮助我们更深入地理解图形的对称性，提升逻辑推理和解题技巧。本学案将带你在夯实基础的前提下，探索它们的深层应用与解题策略。一、知识回顾与核心梳理在进入提高部分之前，让我们先回顾一下这两个重要概念的核心内容，确保我们的“武器库”是充足的。（一）线段的垂直平分线1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB3.判定定理（逆定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*几何语言：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上4.集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。（二）角的平分线1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE3.判定定理（逆定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。*几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上4.集合定义：角的平分线可以看作是在这个角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合。温馨提示：性质定理和判定定理是几何证明中方向相反的两个重要依据，务必准确区分和灵活运用。二、方法归纳与技巧点拨掌握以下常用的解题思路和辅助线作法，能让你在解题时更得心应手。（一）垂直平分线的常用辅助线与思路1.“见中垂线，连两端”：当题目中出现线段的垂直平分线时，常连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，利用其性质得到两条相等的线段，进而构造等腰三角形或转移线段。2.构造垂直平分线：若要证明某点在某线段的垂直平分线上，可以通过证明该点到线段两端点的距离相等来实现；若要证明某直线是某线段的垂直平分线，可以证明直线上有两个点到线段两端点的距离相等。3.与等腰三角形结合：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（“三线合一”），其中底边上的中线和高都与底边的垂直平分线有关。（二）角平分线的常用辅助线与思路1.“角平分线，向两边作垂线”：这是角平分线性质定理最直接的应用。过角平分线上一点向角的两边作垂线，构造出相等的垂线段（距离）。2.“角平分线，截长补短”：在证明线段和差关系时，若遇到角平分线，可以在角的两边上截取相等的线段（截长），或延长某一线段（补短），构造全等三角形。3.“角平分线+平行线，等腰三角形出现”：如果有角平分线，且存在与角的一边平行的直线，往往能构造出等腰三角形。4.利用角平分线的对称性翻折：角平分线所在的直线是角的对称轴，通过翻折可以将角的一边翻到另一边，构造全等图形，转移角或线段。三、典型例题分析与解答下面我们通过几道典型例题，来体会上述方法的应用。（一）垂直平分线性质的应用例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A=40°，求∠EBC的度数。思路点拨：1.由AB=AC及∠A=40°，可先求出∠ABC和∠C的度数。2.DE是AB的垂直平分线，根据其性质，E点到A、B两点的距离相等，即EA=EB，从而△EAB是等腰三角形，∠EBA=∠A。3.最后用∠ABC减去∠EBA即可得到∠EBC。解答过程：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°。∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。∴∠EBA=∠A=40°（等边对等角）。∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°。解题反思：本题直接运用了垂直平分线的性质得出等腰三角形，进而求出角度，属于基础但重要的应用。（二）角平分线性质的应用例题2：如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：AB=AC。思路点拨：1.AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线性质定理可得DE=DF。2.已知BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，可考虑证明Rt△DEB≌Rt△DFC。3.由全等可得∠B=∠C，从而AB=AC（等角对等边）。解答过程：证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∠DEB=∠DFC=90°。在Rt△DEB和Rt△DFC中，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。∴∠B=∠C。∴AB=AC（等角对等边）。解题反思：本题巧妙地利用了角平分线性质得到相等的直角边，结合斜边相等，用“HL”证明了直角三角形全等，进而得出角相等和边相等。（三）垂直平分线与角平分线的综合应用例题3：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线ED交于点D，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N。求证：BM=CN。思路点拨：1.已知AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线性质可得DM=DN。2.ED是BC的垂直平分线，连接DB、DC，则DB=DC（垂直平分线性质）。3.要证BM=CN，可考虑证明Rt△DMB≌Rt△DNC。已有DM=DN，DB=DC，正好符合“HL”定理。解答过程：证明：连接DB、DC。∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∠DMB=∠DNC=90°。∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。在Rt△DMB和Rt△DNC中，∵DB=DC，DM=DN，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。∴BM=CN。解题反思：本题是垂直平分线性质与角平分线性质的完美结合。通过连接辅助线DB、DC，将分散的条件集中到两个直角三角形中，从而利用全等证明了线段相等。辅助线的添加起到了关键的桥梁作用。四、巩固练习（一）基础巩固1.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E。若AB=，AC=，则△ADC的周长为（）A.B.C.D.（*请自行补充合理数值，此处仅为格式示意*）2.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=，AB=，则△ABD的面积为（）A.B.C.D.（*请自行补充合理数值，此处仅为格式示意*）3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=，AB的垂直平分线MN交AC于点D。求∠DBC的度数。（*请自行补充合理角度，此处仅为格式示意*）（二）能力提升4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD。求证：BE平分∠ABC。5.如图，在△ABC中，∠ABC=，∠ACB=，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的平分线，AD、CE相交于点F。请判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论。6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于点F。求证：BD=2CE。五、总结与反思垂直平分线与角平分线的性质及应用是平面几何证明和计算的重要基石。通过本学案的学习，希望同学们不仅能熟练背诵定理，更能深刻理解其内涵，并能根据题目条件灵活选择辅助线作法，将复杂问题转化为熟悉的基本模型。在解题过程中，要多观察、多思考、多总结。比如，看到“垂直平分线”就联想到“距离相等”，看到“角平分线”就联想到“向两边作垂线”或“截长补短”。同时，要注意不同知识点之间的联系与综合运用，如等腰三角形、全等三角形与这两条特殊线的结