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2026年高联预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，共80分）1.已知三次方程x33x2+ax+b=02.数列an满足a1=1，an+13.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，E在AC上且DE⊥4.实数x,y满足x2+y5.求最小的正整数n，使得n≡2(mod5)，n6.从1到100中任取两个不同的数，求它们的和能被3整除的取法总数。7.函数f(x8.椭圆x24+y23=1的左焦点为F，过F的直线l与椭圆交于A,B9.在△ABC中，∠A=60○，AB=2，10.袋中有3个红球，2个白球，不放回地取球直到取到白球为止，求取球次数的期望。二、解答题（共40分）11.（10分）已知数列an满足a1=1，an(1)求数列的通项公式；(2)证明：∑k=1n12.（10分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E在AD上，满足∠(1)证明：B,E,(2)若AB=AC=5，BC=6，求13.（10分）求所有正整数解(x,y,z14.（10分）将1到n的n个正整数分成两组，使得每组中任意两数之和不为完全平方数，求最大的n。答案一、填空题1.由韦达定理，设第三个根为r，则1+2+r=3，得r=0。代入系数关系：1·2+2·0+0·1=a，故a=2；1·2·0=-b，故2.递推式变形为an+1+3n+1=2(an+3n3.以B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)建系，D(0,0)。AC的方程为y=-43x+4，DE斜率为34.由柯西不等式，(2x+3y)5.设n=5k+2，代入5k+2≡3(mod7)得k≡3(mod7)，即k=7m+36.余0类33个，余1类34个，余2类33个。和能被3整除的取法为C(33,2)+34×33=528+1122=7.当x=2时，f(x8.椭圆左焦点F(-1,0)，设直线l:y=k(x+1)，代入椭圆方程得9.由余弦定理BC=27，正弦定理10.取球次数X的期望E(二、解答题11.(1)设an+1+p(n+1)+q=2(an+pn(2)求和∑k=1nak=3(2n1)n(12.(1)由∠BEC=∠BAC=2α，∠ABC=∠ACB(2)由圆幂定理AE·AD=AB·AC·cos2α，当AD13.当x=y=z=1时成立；设x≤y≤z，若x=1，则y=z，解为(1,k,1

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