小学数学第八章　作业37　平面与平面垂直的判定定理

作业37平面与平面垂直的判定定理分值：100分单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.下列命题中正确的是A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β2.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件中可以推出α⊥β的是A.m⊥n，m⊂α，n⊥βB.m⊥n，m⊂α，α∩β=nC.m∥n，m⊥α，n⊥βD.m∥n，m∥α，n⊥β3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，点E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定4.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值等于A.33 B.C.2 D.36.(多选)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个命题中正确的是A.BC∥平面PDFB.平面PDF⊥平面ABCC.DF⊥平面PAED.平面PAE⊥平面ABC7.(多选)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=CD=1，BC=2，BD=3，则下列选项中正确的是A.平面ABC⊥平面ACDB.二面角D-AB-C的平面角的余弦值为6C.AD与平面BCD所成的角为30°D.三棱锥A-BCD的体积为38.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=1，将△ABC沿斜边BC上的高AD翻折，使平面ABD⊥平面ACD，则翻折后BC=.

9.如图，直二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=2，AC=4，BD=6，则CD的长为.

10.(10分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°.证明：平面PAB⊥平面PAC.11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶312.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是二面角P-AB-C的平面角13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=BC，PA=AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则PNNC=.14.(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点.(1)求证：A1E∥平面C1BD；(6分)(2)若AC=BC=1，AB=2，AA1=2，求二面角B-DC1-C的平面角的正切值.(6分)15.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=BC=1，PD+CD=AB=3，AB∥CD，AB⊥BC，M在线段AB上(不含端点)，PM⊥平面ABCD.(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；(5分)(2)设PD=x，x∈(1，3)，请写出三棱锥M-PAD的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值.(10分)答案精析1.C2.D3.C4.C5.C[如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则A1O⊥BD，AO⊥BD，故∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角，设A1A=a，则AO=22a所以tan∠A1OA=A1AAO=a26.ACD[因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE=E，AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故D正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故C正确；只有B不正确.]7.ABC[∵CD=1，BC=2，BD=3，则CD2+BC2=BD2，∴CD⊥BC，∵AB⊥平面BCD，BC，CD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥CD，AB⊥BD，∵CD⊥BC，AB⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，故A正确；∵AB⊥BC，AB⊥BD，平面ABC∩平面ABD=AB，∴∠CBD为二面角D-AB-C的平面角，在Rt△BCD中，cos∠CBD=BCBD=63，即二面角D-AB-C的平面角的余弦值为63∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为AD与平面BCD所成的角，在Rt△ABD中，tan∠ADB=ABBD=3则∠ADB=30°，故C正确；三棱锥A-BCD的体积为13×12×2×1×1=26，故D8.19.214解析过点A作AE∥BD且AE=BD，则四边形EDBA为平行四边形，连接ED，CE，AD，如图，因为AB⊥BD，所以平行四边形EDBA为矩形，则AE⊥AB.又AC⊥AB，α∩β=AB，所以∠CAE是二面角α-AB-β的平面角，因为α-AB-β是直二面角，所以∠CAE=90°，所以AE⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AE=A，AB，AE⊂β，所以AC⊥β，又AD⊂β，所以AC⊥AD.又AD=AB2+所以CD=AC2+10.证明连接OA，OB，则OA=OB，∵D为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA，OB⊂平面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，又PO=PO，∴△POA≌△POB，∴PA=PB，∵△ABC是底面圆的内接正三角形，∴AC=BC，又PC=PC，则△PAC≌△PBC，∴∠APC=∠BPC=90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，∵PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.11.A[连接AB'，A'B(图略).由已知条件可知∠BAB'=π4∠ABA'=π6设AB=2a，则BB'=2asinπ4=2aA'B=2acosπ6=3a∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，∴AB∶A'B'=2∶1.]12.ABC[∵点E，F，G分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF，GE⊄平面PBC，PC，CB⊂平面PBC，∴GF∥平面PBC，GE∥平面PBC，∵GF∩GE=G，GF，GE⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC，A正确；∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，∴GF⊥平面ABC，∵GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC，B正确；易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；∵GE与AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是二面角P-AB-C的平面角，D错误.]13.1解析如图所示，取PC的中点E，PE的中点N，连接BE，MN，AN，∵AM⊥平面PBC，PB，PC⊂平面PBC，∴AM⊥PB，AM⊥PC，∵PA=AB，∴M为PB的中点，∵PB=BC，E为PC的中点，∴BE⊥PC，∵M，N分别为PB，PE的中点，∴MN∥BE，∴MN⊥PC，∵PC⊥AM，AM∩MN=M，AM，MN⊂平面AMN，∴PC⊥平面AMN，∵PC⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面AMN，∵E为PC的中点，N为PE的中点，∴PN=12PE=14因此PNNC=114.(1)证明如图，连接CB1交BC1于点F，连接EF，DF，因为E，F分别是B1C1，B1C的中点，所以EF∥CC1，且EF=12CC1又因为D是AA1的中点，所以A1D∥CC1，且A1D=12CC1所以A1D∥EF，且A1D=EF，因此四边形A1DFE是平行四边形，所以A1E∥DF，又因为A1E⊄平面C1BD，DF⊂平面C1BD，所以A1E∥平面C1BD.(2)解因为AD=AC=1，AD⊥AC，CC1⊥AC，所以∠DCA=∠DCC1=π4CD=12+1同理可得DC1=2，∠DC1C=π4因此∠C1DC=π2，即CD⊥DC1又AB=2，所以BD=3，又BC1=12+22=5，DC则DC12+BD2=BC12，所以DC所以∠CDB是二面角B-DC1-C的平面角，因为CD2+BC2=BD2，所以CD⊥BC，△BCD为直角三角形，所以tan∠CDB=BCCD=12=故二面角B-DC1-C的平面角的正切值为2215.(1)证明因为PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PM⊥BC.又因为AB⊥BC，AB∩PM=M，AB，PM⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解如图，过点P作PN⊥AD，交AD于点N，连接MN，BD.由PD=x，x∈(1，3)，得CD=3-x，因为BC=1，AB=3，AB∥CD，AB⊥BC，所以AD=x2则PD2+PA2=AD2，所以PD⊥PA，则PN=PA·PDAD=xAN=PA2-BD=BC2+因为PM⊥平面ABCD，MN，AD