小学数学第八章　作业41　与球有关的截面及内切、外接问题

作业41与球有关的截面及内切、外接问题分值：100分单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A.8π3 B.C.8π D.82.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A.81π4C.9π D.27π3.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为A.56π B.224πC.5614π4.将半径为3，圆心角为2π3A.2π3C.4π35.(多选)某人设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则A.R=3r B.R=6rC.V2=9V1 D.2V2=27V16.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+2D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值7.(多选)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法错误的有A.该半正多面体的体积为5B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3C.该半正多面体的表面积为6+23D.该半正多面体外接球的表面积为8π8.(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

9.在三棱锥P-ABC中，△ABC的内心O到三边的距离均为1，PO⊥平面ABC，且△PBC的边BC上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为.

10.(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积11.已知四面体SABC的所有棱长为23，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为A.33 B.C.13 D.12.(多选)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则A.圆锥的底面半径为1B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三C.该组合体的外接球表面积与该组合体底面面积之比为16∶3D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半13.已知正三棱柱的侧面积为3cm2，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为cm2.

14.(11分)一块边长为20的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2，点O在底面ABCD上，EO⊥底面ABCD，OF⊥BC.(1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数；(4分)(2)当x=12时，求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径r.(7分)15.(15分)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面面积为12，其内切球体积为36π.(1)求该正四棱台的表面积；(7分)(2)求该四棱台外接球的半径.(8分)答案精析1.C2.A3.A[三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，它的外接球就是它补形为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，令12ab=4，12bc=6，12解得a=4，b=2，c=6，则长方体的体对角线的长为a2+=56=214，所以外接球的直径为214，半径长为14，外接球的表面积为S=4πR2=56π.]4.A[设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=2π3×3∴r=1，h=32-12=22，设内切球的半径为R，则∴R=22，V=43πR3=43π×225.AD[由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R=3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h=2r，V1=4πr33，V2=πR2h=18πr3，则有2V2=27V6.BC[若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1，其边长为2，则截面的周长为32，A错误；若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球体积相等，B正确；当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2×12×12+1×2=3+2，C若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误.]7.ABD[如图，因为AB=1，所以该半正多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积V=(2)3-8×13×12×222×22根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，又AB=1，所以正六边形的面积S=6×12×1×1×32=33因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为8×12×1×1×32+6×12=6+23，故根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1，所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×12=4π，故D错误.]8.5解析设铁球的半径为rcm.分三种情况讨论.情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9，∴r≤94情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8，∴r≤2；情况三：斜向排列，截面图如图所示，0<r<4，由图可知(8-2r)2+(9-2r)2=4r2，即4r2-68r+145=0，即(2r-5)(2r-29)=0，解得r=52或r=292(舍去综上所述，铁球半径的最大值为52cm9.4解析如图，O为△ABC的内心，若PE⊥BC于点E，连接OE，易知BC⊥平面EPO，∵OE⊂平面EPO，∴OE⊥BC，∴OE=1，PE=2，若PO上的点F为三棱锥P-ABC内切球的球心，且FD⊥PE，即内切球的半径为r=FO=FD，∴sin∠EPO=OEPE=FD而PF=PO-FO，PO=PE2-∴r3-r=12，得故该三棱锥的内切球的体积V=43πr3=410.解如图，在正六棱柱中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE=2OE=2DE，所以BE=6，BE=E1E，在Rt△BEE1中，BE1=BE2+所以该球的直径为2R=23，则半径R=3，所以球的体积V球=43πR3=43π球的表面积S球=4πR2=12π.11.D[如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.在Rt△SAO中，该四面体的高h=SO=S=S=S=12-4=22.又四面体的表面积S=4×34×(23)2=123则13·S·R1=13×33解得R1=22由HO2FO1=S即R222解得R2=24，故R2R112.CD[如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上、下底面的圆心分别为O1，O2，O1O2的中点为O，由题意，设圆锥的高PO1=h，圆柱的高O1O2=2h，圆柱的上、下底面圆半径为r，则h解得h=1，r=3，故A错误；圆柱的体积为V圆柱=π×3×2=6π，外接球的体积为V球=43π×23=32π则V圆柱=916V球，故B底面面积为S底=π×3=3π，外接球的表面积为S球=4π×22=16π，则S球∶S底=16π∶3π=16∶3，故C正确；圆锥的母线长为(3)所以圆锥的侧面积为π×3×2=23π，圆柱的侧面积为2π×3×2=43π，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.]13.4解析当球O的半径R最小时，球O的表面积最小.设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的侧面积S侧=3ab=3，所以ab=1.底面正三角形所在截面圆的半径r=33a，则R2=r2+b22=a23+b24=13b2+b即b=43又因为0<b<2R，所以(R2)min=33故球O的表面积的最小值为43π314.解(1)在Rt△EOF中，EF=10，OF=12x，0<x<20则EO=100-14x2，∴V=13x2100-0<x<20.(2)方法一如图，设正四棱锥的内切球球心为P，且与底面相切于点O，与侧面相切于斜高ΕF上的点Q，则PO=PQ=r，∵EO=8，OF=FQ=6，EF=10，则EQ=4，又EP=8-r，∴在Rt△EQP中，由PQ2+EQ2=EP2得r2+42=(8-r)2，解得r=3.方法二当x=12时，由(1)知V=13×122×100-1正四棱锥的表面积S=4×12×12×10+122=384由等体积法可得V=13Sr，即r=3V15.解(1)如图，作该正四棱台的截面，其中G为其内切球球心，M，N，Q分别为其内切球与上、下底面、侧面的切点，PE为侧面的高.因为该正四棱台的上底面面积为12，故上底面边长为23，因为内切球体积为36π=43πGM3故GM=GN=3.在△GMP中，GM=3，MP=3，∠GMP=90°，所以GP=23，∠MPG=60°，根据对称性∠QPG=60°，故∠QPM=120°，∠QEN=60°，所以∠GEN=30°，因为GN=3，所以EN=33，所以正四棱台的下底面是一个边长为63的正方形，故侧面梯形的高PE=PQ+QE=MP+EN=3+33=43，即该正四棱台的表面积S表=12+108+4×23+632×(2)由(1)知该正四棱台的上、