浙江五湖联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸 m85 mzm24m2若复 是纯虚数，则实 （

B. C.

D.已知向量→x,x6，b1,2，且 ，则x（A. B.

a/

C. D.已知1iz1izz（A. B. C.

D.

2（A.

C.

D. 如图，正方形OABC边长为2cm（A.4 B.8 C. D.2 6

2AD

，记OA

，则OD（2 3a b

3 2a b

7 2a b

2 7 |OC|的最小值为（

​

如图，已知VABCA60D，EABACBDCE2，M，NDEBCMN的最小值是（）

3618分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.下列命题中正确的是（z2i1zzmnR2ixx2mxn0mnzz12zi的最小值为2ab

2,

1b1，则下列说法正确的是（ aab a2ba2b ACSOOBOA，CSOOC2正确的是（SO的表面积为442πSO的外接球体积是 ABBC，EABSECE的最小值为2填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分已知向量→2,1，b1,x，若→⊥b，则x ABBCD，现测得BCD75BDC60，CD20，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB ABCDAB2AD4A2πABCD 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤z112iz23izz1z2m1imRz5mzm22m8m25m1im的范围 aba4b2，且4aa4b.求a→b的夹角余弦值ABxOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，且CBOAA60C1,3MOM

2OAPBC上运动（包括端点，如图所示求与OCa求OC在CM a，b，cA，B，CacosC

3asinCbAa3sinBsinC1，求VABC的面积lABACD，E，设ADEθacosBθbcosAθccosθ.2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸 m85 mzm24m2若复 是纯虚数，则实 （

B. C.

D.【答案】zm24m2)im24所以m20m2已知向量→x,x6，b1,2，且 ，则x（A. B.【答案】

a/

C. D. 则2xx6x6.已知1iz1izz（A. B. C.【答案】

D.1 1 【详解】Q1iz1i，z izizz0

1

1i1

2（A.

C.

D. 【答案】【详解】因a:b:c :2，可设ak,b 2k,c2k，k0因cbaa2b2 k22k24k 2k2由余弦定理，cosC2k2 如图，正方形OABC边长为2cm（A.4 B.8 C. D.2 6【答案】xy轴方向线段长度，然后计算周长【详解】根据题意，直观图OABC边长为2cm2OAAB OB22OA OB4AB

原平面图形的周长是

32)

2AD

，记OA

，则OD（2 3a b

3 2a b

7 2a b

2 7 【答案】

2AD

，记OA

AD5ABODOAADOA5ABABOBOA

2 3所以ODOA

ABOA(OBOA)OAOB，即ODab |OC|的最小值为（

​

【答案】

OA·OBOAOB

44

8

1

12当且仅当λ1时，|OC 23 如图，已知VABCA60D，EABACBDCE2，M，NDEBCMN的最小值是（）

【答案】

1–– 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得AM

xAByAC，AN

(ABAC)，MNANAMBDCE2MNMN的最小值【详解】在VABCDEBCMN，ADxAB,AEyAC，

1–– AM

ADAE

xAByAC，AN

(ABAC)， 1 ∴MNANAM2(1x)AB(1y)AC，AB·ACAB·ACcos60 AB·AC 1

MN4(1x)AB2(1x)(1y)ABAC(1y)AC 11y2–––→21x2––→21y 4 xACAB ∵BDCE2，1yAC1xAB2 1y2–→21x2→221y1x–→→441y1x–→→ 1y1xACAB1， 1

∴

AB(1x)(1y)ABAC(1

AC13(1

4 y) AC

当 y

1xAB1

最小值为，即MN的最小值 3618分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.下列命题中正确的是（z2i1zzmnR2ixx2mxn0mnzz12zi的最小值为2【答案】D.【详解】Azz12i12i124i25B：z13ii10213i2i42213i2113i，虚部为 ，错误C2im2i2i m则n2i2i4，即n4mn4 Dz12z对应点在以10为圆心，2为半径的圆上，zi表示圆上点到点01的距离，且点01在圆内，101020

2

2，正确ab

2,

1b1，则下列说法正确的是（ aab a2ba2b 【答案】

→【详解】Aaabaab4130A

Ba2ba2ba4b440 所以a2ba2bB →

→

3Ca

2

因为641120，所以不存在λRa

，故C错误D

→ → →

2 2a

a2ab则42λλ2421，即λ22λ10，因为λ22λ10对λRD正确.ACSOOBOA，CSOOC2正确的是（SO的表面积为442πSO的外接球体积是 ABBC，EABSECE的最小值为2【答案】r2，l22所以侧面积为πrlπ2 42π，底面积为πr2π224πSO的表面积为442πARd。SO2r2，R2d2r2dR2R2R24R4404R84R8R2 2

2

2

r 24

2ABBC，EABABC90AC4ABBC22SASB

，所以△SAB为等边三角形，则SBA60将△SABAB为轴旋转到与△CAB共面，得到VS1AB，所以VSAB为等边三角形，则SBA60， 则SECEminS1C SBBC22,SBCSBAABC150 SC2SB2BC22SBBCcos15088 2 2 则SECEminS1C2 1，故D正填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分已知向量→2,1，b1,x，若→⊥b，则x 【答案】ab2x0xABBCD，现测得BCD75BDC60，CD20，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB 【答案】 【详解】在△BCDCBD1807560∘45BC

sin(m，

sin在Rt△ABC中，ABBCtanACB106

ABCDAB2AD4A2πABCD 【答案】【分析】应用正余弦定理求得BD 、△ABD外接圆的半径r BD2AB2AD22ABADcosA416828BD

（负数舍去又△ABDr

2sin

r2BDr2BD 由OBDd

，则△BCD中BD边上的最大高为dr

1ABADsinA1BD

V

V 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤z112iz23izz1z2m1imRz5mzm22m8m25m1im的范围（1）（2）（1）zz5m（2）将所求复数整理化简，根据第二象限对应的复数实部与虚部的符号特征解不等式即可1zz1z2m1i5m4i52(m又z5 5，解得52(mm的值为42由（1）z5m4izm22m8m25m1im22m3m24m3i，m22m3 1mm24m30m3或m1，解得1m

aba4b2，且4aa4b.求a→b的夹角余弦值（1）（2）5（1） （2）根据模的运算求得aab20，ab ，进而利用向量夹角公式求解即可1 由4aa4b得4aa4b0 所以4a16ab0a4ab42 由（1）ab4a4b2 →aabaab16420(ab(aba2ab a

→ aab 5所以cosaab

→

→ a4a5即a与→b的夹角余弦值5AB（1）AB （3）1565在△ACB中由余弦定理和同角三角函数关系求得sinABC ，求得△ACB51 1求解表面积1AB3xABBCAA1324BC2xAA14x因为外接球的表面积为116π，即4πR2116π，解得2R (3x)2(3x)2(2x)2AB62

x2VABCDACDVABCDABCDVBAB11 111 11648116481603 3由（1）AB6BC4AA18A1C1

42428282

10，BC1

4242102(45)2(221045 51cos2A1cos2A

5VABC5VABC2 55所以 1045 1S464868146148168 3464868

156 xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，且CBOAA60C1,3MOM

OAPBC上运动（包括端点，如图所示求与OCa求OC在CM 3 3【答案（1）a 或2,2 2 （2）2 3 7 （1） ,Pt,3，根据向量垂直的坐标表示可求得2t3λ12．分t3t3讨论可求得λ 围1O00,A60C1,3B5,3M30则OC1,3OC2

所以a–––→OC 或a–––→OC, 2

22 OC1,3,CM2

3，则OCCM1，CM 7 所以OC 上的投影向量为OCCMCM1CM2,3

7 3Pt,3，1t5

, 若OAλOPCM，则OAλOPCM0若t3，则λ不存在；若t3，则

2tt3 因 1,,5，则2t31,00, 2t

a，b，cA，B，CacosC

3asinCbAa3sinBs