2026年高中数学学业水平合格性考试试卷试题（含答案详解）

1/22026年数学学业水平合格考考前模拟卷（全国通用）（考试时间：90分钟；满分：100分）一、单选题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．的虚部为（

）A．-1 B．-i C．3 D．3i3．若，则下列各式一定正确的是（

）A． B． C． D．4．函数的定义域是（

）A． B．C． D．5．如图，在平行四边形中,为的中点，则A． B．C． D．6．函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定7．已知，则的值为（

）A． B． C． D．8．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④9．如图，在长方体中，，，则（

）

A．3 B．4 C．5 D．610．设A、B、C为三角形的三个内角，，该三角形一定是A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形11．若，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．12．已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（

）A． B． C． D．13．已知，则=（

）．A． B．C． D．14．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．15．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得4分，部分选对得部分分，有选错得0分.16．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面．且，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则17．已知幂函数的图象过点，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上为减函数 D．在上为减函数18．已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.19．．20．若，且，则的最小值是．21．若为奇函数，且关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为.22．如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度（为塔顶，为在地面上的射影），甲在地面上的点处测得点的仰角为，乙在点处测得点的仰角为米，且点在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高米.

四、解答题:本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23．（9分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示；其中成绩分组区间是，，，，.

(1)求图中的值；(2)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段24．（9分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，平面，求证：平面.25．（9分）函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．一、单选题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集定义直接求解.【详解】∵集合，，∴.故选：B.2．的虚部为（

）A．-1 B．-i C．3 D．3i【答案】C【分析】由复数的乘法运算即可求解．【详解】由，可知虚部为3．故选：C．3．若，则下列各式一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质以及举反例逐项分析判断.【详解】因为，则，，，故A正确，BC错误；对于D：例如，满足，但无意义，故D错误.故选：A.4．函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可.【详解】因为，所以定义域满足，解得，故选：A.5．如图，在平行四边形中,为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将转化为，即可.【详解】故选：【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.6．函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】C【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数.【详解】函数的零点个数等价于根的个数，因为，即有2个根，所以函数有2个零点.故选：C7．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得：.故选：D8．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B．9．如图，在长方体中，，，则（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，，故选：B10．设A、B、C为三角形的三个内角，，该三角形一定是A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【详解】解：因为，所以，所以，即，因为A，B，C是三角形内角，所以．所以三角形是等腰三角形．故选A．【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，一般处理思路有两种：一是化角为边；二是化边为角，然后进行判断，属于基础题．11．若，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与的夹角，通过代入条件计算即可.【详解】设与的夹角，因为所以解得，所以，故选：B.12．已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方体的体对角线求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径可得，，解得，所以外接球的体积．故选：C．13．已知，则=（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用换元法求解函数解析式，即可得答案.【详解】令，则，则，所以，故选：D.14．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数，结合给定区间解析式，利用周期性、奇偶性求的值.【详解】由题意，在上的奇函数，且，得，∴，则，即，∴，即是周期为4的周期函数，当时，，则.故选：B.15．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据＜0，得到在上递减，然后由，得到，将不等式转化为求解.【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，所以在上递减，因为，所以，因为不等式，所以，所以，所以，即，所以，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得4分，部分选对得部分分，有选错得0分.16．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面．且，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】由线面平行和垂直的性质，以及面面平行的性质，可判断；由线面平行和垂直的性质，以及面面的位置关系，可判断；由线面平行和垂直的性质，以及面面垂直的判定定理，可判断；由面面垂直的性质和线面的位置关系，可判断．【详解】解：对于，由，，可得，由，可得过的平面与的交线与平行，由，则，故正确；对于，若，，，可能，故错误；对于，若，，可得，由，可得过的平面与的交线与平行，则，由，可得，故正确；对于，若，，则或，故错误．故选：．17．已知幂函数的图象过点，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上为减函数 D．在上为减函数【答案】AD【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确.【详解】根据幂函数定义可得，解得；又因为图象过点，所以可得，即；易知函数的定义域为，且满足，所以是偶函数，故A正确，B错误；由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确.故选：AD18．已知函数，则（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于点对称C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增【答案】ABD【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断.【详解】函数，对于A，的最大值为2，A正确；对于BC，，函数的图象关于点对称，直线不是其对称轴，B正确，C错误；对于D，当时，，而函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.19．．【答案】0【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】,故答案为：020．若，且，则的最小值是．【答案】12【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为，且，所以.故答案为：.21．若为奇函数，且关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为.【答案】【分析】根据函数为奇函数，再根据题意，得到，即可求解，得到答案.【详解】因为函数为奇函数，且函数的最大值为，最小值为，且，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的最大值和最小值的应用，其中解答中合理化简函数的解析式，熟练应用函数的奇偶性进行转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22．如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度（为塔顶，为在地面上的射影），甲在地面上的点处测得点的仰角为，乙在点处测得点的仰角为米，且点在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高米.

【答案】330【分析】由题意可知，然后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果.【详解】由题意得,所以，所以，所以，在中，，所以（米）.故答案为：330四、解答题:本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23．（9分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示；其中成绩分组区间是，，，，.

(1)求图中的值；(2)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段【答案】(1)(2)10【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1可得；（2）根据表中各分数段人数比，求出数学成绩在各分数段内的人数，结合样本容量即可得出所求.【详解】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，，解得，所以图中的值为；（2）数学成绩在的人数为：（人）；数学成绩在的人数为：（人）；数学成绩在的人数为：（人）；数学成绩在）的人数为：（人）；所以数学成绩在之外的人数为：（人）.24．（9分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，平面，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，进而根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证.【详解】（1）证明：连接，∵四边形是平行四边形，且是的中点，∴是的中点，∵E为PC的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴面，∵，∴平