九年级中考数学二轮专题复习 数与式、方程与不等式（复习讲义）

专题01数与式、方程与不等式目录01析·考情目标02筑·专题框架03攻·重难考点TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型一：实数的混合运算题型二：比较大小问题题型三：用科学记数法比较较大/较小的数题型四：整式的混合运算题型五：化简求值问题题型六：整式与几何面积的综合运算题型七：规律探究问题题型八：因式分解题型九：分式有/无意义，值为0的条件题型十：分式的混合运算题型十一：二次根式的混合运算题型十二：非负性的应用必备知识知识1实数的混合运算知识2整式的混合运算知识3因式分解知识4分式的运算知识5二次根式的运算命题预测考点二方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型一：已知方程（组）的解，求参数题型二：解方程（组）、不等式（组）题型三：一元二次方程根的判别式题型四：一元二次方程根与系数的关系题型五：一元二次方程根的判别式与韦达定理综合题型六：分式方程的参数问题题型七：不等式（组）与整数解问题题型八：根据实际问题列方程题型九：利用方程、不等式解决实际问题题型十：方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解必备知识知识1解一元一次方程知识2解二元一次方程（组）知识3解分式方程知识4解一元二次方程知识5解一元一次不等式组命题预测命题透视命题形式：呈现“新材料、新情境、新问题”特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。命题内容：1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。热考角度考点2025年2024年2023年实数的概念与运算广东・T1：实数分类与大小比较山西・T11：非负性综合求值湖南・T1：相反数与绝对值四川・T12：新定义实数运算广西・T4：实数的概念（二次根式有意义条件）北京・T10：实数的运算与综合（整式规律探究）整式的运算与化简求值江苏・T17：乘法公式逆用与整体代入浙江・T21：整式与几何面积综合山东・T16：幂的运算性质辨析河南・T18：化简求值（含参数）湖北・T15：整式规律探究（点阵问题）广东・T19：乘法公式综合应用因式分解安徽・T12：十字相乘法分解福建・T14：分组分解法河北・T13：提公因式+公式法综合陕西・T16：因式分解与分式化简江西・T11：二次三项式因式分解云南・T17：因式分解与方程求解分式重庆・T16：分式值为0的条件天津・T19：分式化简求值（整体代入）浙江・T15：分式有意义条件与参数范围湖南・T20：分式混合运算四川・T14：分式方程与不等式综合广东・T18：分式化简与选数代入二次根式辽宁・T11：二次根式性质化简黑龙江・T12：二次根式混合运算吉林・T13：二次根式有意义条件内蒙古・T16：分母有理化甘肃・T12：二次根式与数轴综合青海・T15：二次根式化简求值一元一次方程与二元一次方程组广东・T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）江苏・T18：含参数方程组的解山东・T19：二元一次方程组解法河南・T21：配套问题湖北・T17：二元一次方程组的参数问题北京・T20：和差倍分问题一元二次方程浙江・T22：根的判别式与参数范围四川・T23：韦达定理综合应用湖南・T21：增长率问题河北・T19：配方法解方程广东・T22：面积问题（一元二次方程）山西・T20：整数根问题分式方程重庆・T20：分式方程的实际应用（工程问题）天津・T18：分式方程的解与参数江苏・T19：分式方程解法与验根安徽・T21：行程问题江西・T18：分式方程无解的参数讨论福建・T20：效率问题一元一次不等式（组）北京・T23：不等式组的整数解与参数广东・T21：方案设计问题（购物）山东・T20：不等式组解集与数轴表示河南・T22：生产加工方案湖北・T19：整数解个数问题浙江・T23：租车方案与最值方程与不等式综合江苏・T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）四川・T24：一元二次方程与不等式综合湖南・T25：分式方程与不等式综合河北・T23：方程组+不等式+函数广东・T24：方案设计与最值（利润问题）北京・T25：综合建模命题预测1.考情预测数与式：基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。方程与不等式：核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。综合趋势：方程（组）+不等式+一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。情境创新：以“传统文化、科技发展、社会热点”为背景，考查数学应用。2.备考建议夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。强化综合：针对“方程+不等式+函数”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。考点一数与式题型一实数的混合运算1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；3），1．（2025·山东济南·中考真题）计算：π−30+【答案】8−【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．【详解】解：原式=1+2+5+2×=8+=8−22．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：22【答案】2【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．【详解】解：原式=2题型二比较大小问题比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.1．（2025·海南·中考真题）写出一个比−2大的实数：【答案】−2【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据1<2<4，可得1<2【详解】解：∵1<∴1<2∴−2<−2∴比−2大的实数可以是：−故答案为：−22．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a与b的大小关系是ab．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键．根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．【详解】解：由数轴得：−4<a<−3<1<b<2，∴a<b，故答案为：<．3．（2025·江苏南京·中考真题）已知a<b<0，试比较1a2与【答案】1【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出1a2−1b2=b+ab−aa2b2【详解】解：∵1===b+a∵a<b<0，∴a2b2>0，∴b+ab−a∴1a题型三用科学记数法比较较大/较小的数用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（

）A．8.16×1011 B．81.6×1011 C．【答案】A【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，【详解】解：8160亿用科学记数法表示为8.16×10故选：A．2．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（）A．4×10−10秒 B．4×10−11秒 C．4×10【答案】A【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，【详解】∵1皮秒=10∴400皮秒=400×10∴400×10故选：A．3．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0~100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x℃之间的关系均为y=αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数αCu=1.7×10−5（单位：/℃）；原长为2.5(1)原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃(2)求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长(3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量．【答案】(1)5.1×10−4(2)αFe=1.2×10−5(3)68【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；（1）根据y=αlx，代入数据进行计算即可求解；（2）根据定义求得铁的线膨胀系数αFe，进而设该铁棒温度的增加量为x（3）设该铁棒温度的增加量为x2【详解】（1）解：0.6×50×1.7×10答：该铜棒的伸长量5.1×10（2）解：2.5×α解得：αFe=1.2×10设该铁棒温度的增加量为x11×1.2×10解得：x1答：铁的线膨胀系数αFe=1.2×10−5（3）解：设该铁棒温度的增加量为x21.7×10解得：x2答：该铁棒温度的增加量为68℃题型四整式的混合运算在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.1．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（

）A．a23=C．2aa−b=2a【答案】D【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可．【详解】解：A．a2B．a4C．2aa−bD．a+b2故选：D．2．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A．−3−2=9 C．5×103×【答案】C【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可．【详解】解：A、−3−2B、24C、5×10D、−2×10故选：C．3．（2025·天津·中考真题）计算(61+1)(61【答案】60【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：(=61−1=60，故答案为：60．4．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：a+2a−2【答案】3a−4【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：a+2==3a−4．题型五化简求值问题1）整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入.2）分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算.分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化.1．（2025·四川·中考真题）若2x−y=5，则4x−2y−9=．【答案】1【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现4x−2y=2(2x−y)；再将已知条件2x−y=5代入该式，计算出4x−2y的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案．【详解】解：∵4x−2y=2(2x−y)，且已知2x−y=5，∴将2x−y=5代入得：4x−2y=2×5=10，则4x−2y−9=10−9=1．故答案为：1．2．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：aa+1−a+2【答案】a+4；10【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可．【详解】解：原式===a+4；当a=6时，原式=6+4=10．3．（2025·广东广州·中考真题）求代数式2m2+4m【答案】−4【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把m=3【详解】解：2==2=2m当m=3原式=2×=2×=8−4=−434．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式1a−3+3【答案】1a−3，【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出a的值，最后代入化简后的式子求值．【详解】解：1==1当a=2sin原式=35．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．①解方程：x2②解不等式组：x+1>02x+1<5（2）先化简，再求值：x+3x+2−1÷【答案】（1）①x1=1，x2=【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）①利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；②先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据所求的正整数解，代入计算即可．【详解】解：（1）①∵x2∴x−1x−∴x−1=0或x−2解得x1②x+1>0解不等式x+1>0，得：x>−1，解不等式2x+1<5，得：x<2，∴原不等式组的解集为−1<x<2；（2）x+3====1由（1）①可得x=1，则原式=1由（1）②可得x=1，则原式=1题型六整式与几何面积的综合运算1．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“⊗”，满足a⊗b=ab例如：当a>0时，2a⊗1=（1）当a>0时，请计算：2a⊗【探究运算律】对正实数a，b，运算“⊗”是否满足交换律a⊗b=b⊗a？∵a⊗b=abb⊗a=ba∴a⊗b=b⊗a．∴运算“⊗”满足交换律a⊗b=b⊗a．（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”是否满足结合律a⊗b⊗c=a⊗【应用新运算】（3）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a，BF=b，且a>b．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则2a⊗b⊗【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3）5【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）直接按照新定义计算即可；（2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可；（3）由勾股定理得到a2+b2=26，由全等三角形的性质得到EF=AF−AE=a−b，则a−b2=16【详解】（1）解：由新定义得，2a⊗（2）解：对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律a⊗b⊗c=a⊗左边：a⊗b⊗c=右边：a⊗b⊗c∴左边=右边，∴对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律a⊗b⊗c=a⊗（3）由题意得，∠AFB=90°，∴AF∵AF=a，BF=b，且a>b，正方形ABCD的面积为26，∴a2∵四个直角三角形全等，∴AE=BF=b，∴EF=AF−AE=a−b，∵正方形EFGH的面积为16，∴a−b2∴a2∴26−2ab=16，∴ab=5，∴a+b2∴a+b=6（舍负），∴2a⊗b⊗故答案为：562．（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题：材料一：把形如ax例如：当x取何值时，代数式x2x=∵∴∴当x=−1时，代数式x2+2x−4有最小值根据上面的材料请解决下面问题：如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．(1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；(2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)−2(2)当x=10时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是200【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．（1）直接根据题意列代数式即可；（2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为40−2xm则鸡场的面积：x40−2x（2）解：−2x∵−2x−10∴−2x−10∴当x=10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200m∵x=10，40−2x=20<24，∴最大面积是200m故当x=10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200m3．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为m，宽为n的互相垂直的矩形；尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____；应用：如图3，已知C是线段AB上一点，分别以AC,BC为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若AB=10,S拓展：已知M=2x2−4x+5,N=【答案】尝试：m−n2【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键．尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为m−n的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积−2个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积；应用：设AC=m,BC=n，得12m2拓展：进行整式的减法得x2【详解】解：尝试：m−n2故答案为：m−n2应用：设AC=m,BC=n，由题意，得12又∵m+n∴2mn=48，∴mn=24．∴阴影部分的面积为12拓展：∵M−N=2x∴M−N的最小值为2．4．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当a≥0，b≥0时，由(a−b)2=a−2ab+b≥0，得a+b≥2ab当且仅当a=b时，取到等号．已知x>0，求式子x+4x的最小值．解：令a=x(1)2+3______22×3（用“=”“>”“<(2)当x>0，式子x+9(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】(1)>(2)6(3)22+8【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．（1）根据题意可知2+3>22×3（2）令a=x>0，b=9x>0（3）设S△BOC=x，根据题意可得出S△AOD=112x，即可得出当且仅当x=112【详解】（1）解：∵2>0，3>0，∴2+3>22×3故答案为：>（2）解：令a=x>0，b=9x>0得x+9当且仅当x=9x时，即正数故答案为：6；（3）解：设S△BOC=x，已知S△AOB则由等高三角形可知：S△BOC∴x:14=8:S∴S∴四边形ABCD的面积=8+14+x+当且仅当x=112x，即∴四边形ABCD面积的最小值为22+87题型七规律探究问题1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（

）个小正方形．A．30 B．40 C．49 D．56【答案】C【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解．【详解】解：拼第一个正方形需要4=1+1拼第二个正方形需要9=2+1拼第三个正方形需要16=3+1．．．．．．按照这样的方法拼成的第n个正方形需要n+12∴第六个正方形需要6+12故选：C．2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向【答案】D【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明△CnOnAn皆为等边三角形，可得【详解】解：将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O则O1C1∴△C同理，∴△C∵将O1B绕点O1∴∠BO∵△C1O1A∴∠C∴∠BO同理∠O则∠A∵360°30°∴每转到12次后O12nO12n+130÷12=2⋯6，∴第30次操作后，O30O31又∵△C∴C此时点C30在点A故选：D．3．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：4=1×2+2；第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：6=2×2+2；第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：8=3×2+2；⋯⋯所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是2n+2个．当n=9时，2n+2=2×9+2=20（个），即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．故选：B．4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图1，点A1x1,y1是函数y=1xx>0图象上任意一点，过A1向y轴作垂线交y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L1=2A1B1+A1C1=2x1+y1=2x1+【答案】4【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得L1=2x1+1x1，当x1=1x1时，L1有最小值4=41；L【详解】解：由题意得L1=2x1+1xL2=2x2+2xL3=2x3+3x⋯；Ln=2xn+nx故答案为：4n5．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯按照此规律继续下去，则S2025【答案】1【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×12n−1”是解题的关键．根据题意求出面积标记为S【详解】解：如图，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE,∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，S1∴面积标记为S2的正方形边长为2则S2面积标记为S3的正方形边长为2则S3面积标记为S4的正方形的边长为2则S4……，∴S则S2025的值为：4×故答案为：126．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n(a+b)4【应用体验】已知(x+2)4=x4【答案】8【分析】本题考查了整式规律探究，根据(a+b)4【详解】解：∵(a+b)4∴(x+2)=x∴m=8，故答案为：8．题型八因式分解1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式a3A．aa2+4C．aa+2a−2 【答案】C【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.【详解】解：a3故选：C2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解2x2【答案】2y【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式2y，再利用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：2=2y=2y故答案为：2y3．（2025·四川成都·中考真题）多项式4x2+1【答案】4x（答案不唯一）【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式4x【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为4x，理由如下：4x∴4x符合题意，故答案为：4x（答案不唯一）．4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：a2x−y【答案】x−y【分析】观察到y−x与x−y互为相反数，将其统一为x−y后提取公因式，再应用平方差公式分解．本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．【详解】解：a====x−y故答案为：x−ya−3题型九分式有/无意义，值为0的条件1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零.2）分式的值为0的条件:①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式1x+1÷x−3x−2有意义，则A．x≠−1且x≠2 B．x≠−1且x≠3C．x≠2且x≠3 D．x≠−1且x≠2且x≠3【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．【详解】解：∵分式1x+1∴x+1≠0x−3≠0解得x≠−1且x≠2且x≠3，故选：D．2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式xx−3+(x−2025)0有意义，则实数【答案】x>3且x≠2025【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：x−3>0且x−2025≠0，求解即可得到答案．【详解】解：∵代数式xx−3∴x−3>0且x−2025≠0，∴x>3且x≠2025．故答案为：x>3且x≠2025．3．（2025·贵州·中考真题）若分式x−2x+3的值为0，则实数x的值为（

A．2 B．0 C．−2 D．-3【答案】A【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：x−2=0且x+3≠0，解得：x=2；故选A．题型十分式的混合运算按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式.1．（2025·山东东营·中考真题）化简1+mm−1÷【答案】1【分析】本题考查了分式的混合运算．先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可．【详解】解：1+=====1故答案为：12m+12．（2025·甘肃·中考真题）化简：1x−1【答案】1【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．【详解】解：原式====1．题型十一二次根式的混合运算二次根式混合运算的“四注意”1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；2）灵活运用运算律.3）正确使用乘法公式.4）有些运算中约分可使运算简便.1．（2025·江苏南京·中考真题）计算3+212【答案】2【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．【详解】解：3===6−4=2．故答案为：2．2．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a,b,c，三角形的面积S=14a2b2−【答案】2【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．【详解】解：S=将a=22，b=3，c=11======故答案为：2．3．（2025·上海·中考真题）计算：45【答案】5【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.【详解】解：4===5.题型十二非负性的应用1．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为a,b，且a，b满足a−22+b+3=0，则点【答案】四【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出a,b的值，根据a,b的符号，判断出点A所在的象限即可．【详解】解：∵a−22∴a−2=0,b+3=0，∴a=2>0,b=−3<0，∴点A的坐标为2,−3，在第四象限；故答案为：四．2．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足x−y=2，x−y=4，则x【答案】1【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到x=y+2>0，x=y+4≥0，进而得到y≥−4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y【详解】解：∵x−y=2，∴x=y+2>0，∴y≥−4，∴x=x=当y≥0时，方程无解，当−4≤y<0时，−y+2=y+4，∴y=−1，∴x=y∴xy故答案为：133．（2025·上海·一模）在△ABC中，∠B、∠C都是锐角，且sinC−32+2A．120° B．90° C．75° D．60°【答案】C【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．利用绝对值和平方的非负性，得到sinC和sinB的值，再根据特殊角的三角函数值得到∠B和∠C的度数，最后利用三角形的内角和定理求【详解】解：∵sinC−∴sinC−32∴sinC=32∵∠B、∠C都是锐角，∴∠C=60°，∠B=45°，∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−45°−60°=75°，故选：C．4．（2025·全国·一模）实数m，n满足m−2+n−4=0，则以m，n【答案】25或【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出m,n的值，分n为直角边和n为斜边两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵m−2+∴m−2=0,n−4=0，∴m=2,n=4，∴当4为直角边时，第三边的长为22当4为斜边时，第三边的长为42故答案为：25或2知识1实数的混合运算1.实数的混合运算先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值）三角函数值特殊角30°45°60°sinα123cosα321tanα313知识2整式的混合运算1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.2.幂的运算法则（m，n都是整数）示例同底数幂的乘法底数不变，指数相加，即幂的乘方底数不变，指数相乘，即积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0）3.整式的乘法单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.乘法

公式平方差公式：完全平方公式：4.整式的除法单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即知识3因式分解知识4分式的运算加减运算1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即.2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即.乘除运算1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即.2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即.乘方运算分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0）混合运算分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.知识5二次根式的运算加减运算一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即.乘法运算除法运算混合运算二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）−2026的倒数是（

）A．12026 B．−12026 C．2026【答案】B【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数的定义，一个数a(a≠0)的倒数是1a，因此−2026的倒数为−【详解】∵倒数的定义：若a×b=1，则b是a的倒数，且a≠0，∴−2026的倒数为1−(2026)故选：B．2．（2025·广西·模拟预测）国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，惠及13.95亿中国人，将数据13.95亿用科学记数法表示为（

）A．13.95×106 B．13.95×105 C．【答案】D【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题的关键是熟练地掌握科学记数法．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a将“亿”转换为108，得到13.95×【详解】解：∵1亿=10∴13.95亿=13.95×10又∵13.95=1.395×10，∴13.95×10故选：D．3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①3a+2b=5ab；②4m③4x④a3其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查同类项的定义与合并同类项，单项式的乘法法则，幂的乘方法则，掌握整式运算法则是解题关键．根据同类项的定义和整式的运算法则判断每个计算项的正确性．【详解】解：∵3a和2b不是同类项，不能合并，∴①错误；∵4m3n∵4x∵a3∴正确的个数是1个．故选：A．4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：M=M2，在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数a，b在数轴上的位置如图所示，例如：a+b+1=a+A．−a−b−1 B．0 C．2a+2b+2 D．2【答案】B【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上a、b的位置判断a+b+1的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配．【详解】由题意得：a+b+1根据数轴图，0<a<1且靠近1，−3<b<−2且靠近−3，∴a+b+1<0，则a+b+1a+b+1+故选B．5．（2025·江苏连云港·二模）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数−2，−1，0，1，2，那么表示数−5A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上【答案】A【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先估算5的取值范围，继而得出−5【详解】解：∵4∴2<5∴−3<−5∴−2<−5∵数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数−2，−1，0，1，2，∴表示数−5+1的点应落在线段故选：A．6．（2025·甘肃武威·模拟预测）若a2−2a+1+b−35A．6 B．±6 C．34 D．±【答案】B【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得a−12+b−35=0，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出a和【详解】解：∵a∴a−1∵a−12≥0∴a−12=0∴a−1=0，b−35=0，即a=1，b=35，∴a+b=1+35=36，∴a+b的平方根为±36故选B．7．（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下：第一档电量第二档电量第三档电量月用电量210度以下，每度价格0.52元月用电量210度至350度，每度比第一档提价0.05元月用电量350度以上，每度比第一档提价0.30元例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+350−210根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，下列说法正确的是（）（1）当0<a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；（2）当109.2<a≤189时，小华家的用电量在第二档；（3）当a>189时，小华家的用电量在第三档．A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，通过计算用电量为210度和350度时的电费，得到临界值109.2元和189元，从而判断各说法．【详解】∵用电量210度时，电费为210×0.52=109.2元，∴当0<a≤109.2时，用电量在第一档，故（1）正确；∵用电量350度时，电费为210×0.52+(350−210)×(0.52+0.05)=109.2+140×0.57=109.2+79.8=189元，∴当109.2<a≤189时，用电量在第二档，故（2）正确；∴当a>189时，用电量在第三档，故（3）正确；故选：D．8．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点a,b，定义f，g两种变换：fa,b=a,−b，如f1,2=1,−2；ga,bA．5,−9 B．−9,−5 C．5,9 D．9,5【答案】D【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算f5,−9，得到新坐标，再应用g【详解】解：∵fa,b∴f5,−9∵ga,b∴gf故选：D．9．（2025·陕西西安·一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图1由6架无人机组成，图2由10架无人机组成，图3由14架无人机组成，⋯，按照这种规律继续摆下去，图7由架无人机组成．【答案】30【分析】此题考查的是图形探索规律题，探索第n个图案中的无人机数量为4n+2，然后代入n=7计算即可．【详解】解：图1中无人机的数量为6=4×1+2；图2中无人机的数量为10=4×2+2；图3中无人机的数量为14=4×3+2；⋯；图n中无人机的数量为4n+2；当n=7时，无人机的数量为4×7+2=30；故答案为：30．10．（2025·广东广州·模拟预测）计算a−2+4a+2【答案】a2a+2【分析】本题主要考查了分式的加减，正确计算是解题的关键．根据分式加减的计算法则先通分再计算即可．【详解】解：原式=a−2a+2+4a+2=故答案为：a211．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：a2x−y【答案】x−y【分析】观察到y−x与x−y互为相反数，将其统一为x−y后提取公因式，再应用平方差公式分解．本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．【详解】解：a====x−y故答案为：x−ya−312．（2025·宁夏银川·三模）若x−9+(x−10)0在实数范围内有意义，则实数x【答案】x≥9且x≠10【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可．【详解】解：要使x−9在实数范围内有意义，需满足x−9≥0，即x≥9；要使x−100在实数范围内有意义，需满足底数x−10≠0，即x≠10综上，实数x的取值范围为x≥9且x≠10，故答案为：x≥9且x≠10．13．（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着−2、207，32，0，π中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是【答案】1【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可．【详解】卡片上的数字分别为：−2（有理数）、207（有理数）、32（无理数）、0（有理数）、其中无理数有2个，即32和π则抽取卡片的情况如下：从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种，因此，概率为220故答案为：11014．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算：121212……从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：12+1【答案】2009【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【详解】解：1===(=2010−1=2009，故答案为：2009．15．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算：(1)−1(2)a【答案】(1)2+(2)1【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算；（1）根据有理数的乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；（2）先将除法转化为乘法，再计算分式的减法，即可求解．【详解】（1）解：−12024（2）解：a====116．（2025·重庆·模拟预测）计算：3【答案】8xy+4y【分析】本题考查了整式的运算，通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：3=3(=3=8xy+4y17．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：1−1x÷【答案】x+1x，【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可．【详解】解：原式==x+1当x=2时，原式=2+118．（2025·陕西西安·一模）计算：3【答案】1【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解．【详解】解：3===119．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题：素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间．素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例：第一分道C1第二分道C2第三分道C3第四分道C4……问题解决：(1)小明同学计算的第5分道C5=______米；（化简后的式子含(2)小明同学在为学校运动会规划比赛场地时，需要画出400米跑道的平面示意图，若小明选取的比例尺是1:600，那么直道长84.39米的图上距离是______cm（取整数）；(3)小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸______米（π取3.14，结果取整数）；(4)暑假第一天，小明与小亮晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，小明以4米／秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步．小亮沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，请计算出两人在第二次相遇前相距50米的时间．（第一分道实跑线长度取400米）【答案】(1)83.16π+168.78(2)14(3)7(4)253秒或1753秒或75秒或【分析】本题主要考查列代数式的实际应用．（1）根据前面得出的规律，第n分道的长度为Cn=2π（2）根据题意，设图上距离是x厘米，得出1:600=x:8439，计算求解即可；（3）分别计算出第2道和第1道的长度，再做差计算出第2道比第1道长的距离即可；（4）在第二次相遇前相距50米有四种情况，分别就四种情况进行讨论计算即可．【详解】（1）解：根据前面得出的规律，第n分道的长度为Cn当n=5时，C==2π×41.58+168.78=83.16π+168.78故答案为：83.16π+168.78．（2）解：∵比例尺是1:600，设图上距离为x厘米，∵84.39m则1:600=x:8439，解得x≈14，故答案为：14．（3）解：第一分道长度为C1第二分道长度为C2第二分道比第一分道多出的距离为：C2故答案为：7．（4）解：由题意得，小亮的平均速度为2米/秒，他们从开始到第一次相距50米，用时为m秒，所以小明的路程为4m米，小亮的路程为2m米，所以4m+2m=50，解得m=25设他们从开始到第二次相距50米，用时为n秒4n+2n=400−50，解得n=175设他们从开始到第一次相遇用时为t秒，从开始到第一次相遇，他们一共所跑路程为400米，所以4t+2t=400，解得t=200第三次相距50米时所用时间为t+m=200第四次相距50米时，同理时间为t+n=200综上:第二次相遇前相距50米的时间为253秒，1753秒，75秒，考点二方程与不等式题型一已知方程（组）的解，求参数将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题.1．（2025·贵州·中考真题）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．【详解】解：∵x=2是关于x的方程x+m=7的解，∴2+m=7∴m=7−2=5故选C．2．（2025·江苏南京·中考真题）已知x=2是方程1x−a+2aa−x=1【答案】−1【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把x=2代入解得a的值即可．【详解】解：原方程去分母得：1−2a=x−a，∵x=2是该方程的解，∴1−2a=2−a，解得：a=−1，当x=2,a=−1时，原分式方程有意义，故答案为：−1．3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为【答案】1【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．【详解】解：3x+y=3①+②得，解得x=1，将x=1代入①得，3+y=3，解得y=0，∴该方程组的解为x=1y=0∴a=1，b=0，∴a+b=1+0=1，故答案为：1．4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−6x+a=0的一个根为1，则a的值为【答案】5【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键．将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可．【详解】解：将x=1代入方程x2−6x+a=0，得12解得a=5．故答案为：5．题型二解方程（组）、不等式（组）1．（2025·四川眉山·中考真题）解方程：2【详解】解：去括号，得：2x−2=2+x，移项，得：2x−x=2+2，合并，得：x=4．2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：x−【答案】x=3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：x−②−①×2解得y=2，把y=2代入②得：x=3，∴方程的解为x=3y=23．（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：x2（2）解不等式组：2x<63x−1≥x+1【答案】（1）x1=1+3，【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法．（1）把方程化为x−12（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．【详解】解：（1）x2方程移项得：x2配方得：x2−2x+1=3，即开方得：x−1=±3解得：x1=1+3（2）2x<6①由①得：x<3，由②得：x≥1，则不等式组的解集为1≤x<3．4．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组2x−7<3x−1（2）解分式方程x−22x−1【答案】（1）−4<x≤3，数轴表示见解析；（2）x=0【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键；（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可；（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案．【详解】解：（1）2x−7<3x−1解不等式①，得x>−4，解不等式②，得x≤3，所以不等式组的解集是−4<x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：（2）x−2去分母，得x−2−2x−1解得：x=0，经检验：x=0是原方程的解，所以原方程的解是x=0．题型三一元二次方程根的判别式前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）.1）有根Δ≥0;2）有两个不等根Δ＞0;3）有两个相等根Δ=0;4）无实数根Δ＜0.1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−x+kA．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．【详解】解：对于方程x2Δ由于k2≥0，则−4k故判别式Δ恒为负数，方程无实数根，故选：C．2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数aA．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．Δ=22−4⋅a−1解得a≤2．∴a≤2且a≠1故选：C．3．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程a−1x2+a−1【答案】−1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得a−12−4×−【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴a−12∴a=−1，故答案为：−1．题型四一元二次方程根与系数的关系1．（2025·山东东营·中考真题）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，则代数式A．0 B．25 C．26 D．−1【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出x12−25x1−1=0，【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴x12−25∴x1∴x===1+25=26，故选：C．2．（2025·四川乐山·中考真题）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为x1和x2，则x1【详解】解：∵x1和x2是方程∴x1+x∴x1故选：C3．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则【答案】−4048【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，根据根与系数的关系和方程的解得到m2−2024m−2025=0，n2−2024n−2025=0，【详解】解：∵方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是∴m2−2024m−2025=0，n∴m2=2024m+2025，∴m===mn−=−2025−2024+1=−4048，故答案为：−4048．4．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程x2+2x−3=0的两根，则1a【答案】2【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，−3，代入计算即可．【详解】解：x2x−1x+3x1∴a、b的值为1，−3，∴1a故答案为：23题型五一元二次方程根的判别式与韦达定理综合1．（2025·四川南充·中考真题）设x1，x2是关于x的方程(1)当x1=−1时，求x2(2)求证：(x【答案】(1)x2=4，(2)详见解析．【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0（1）把x1=−1代入方程求出（2）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：把x1=−1代入方程x−1x−2∴m=±6∴x−1x−2=6，即解方程得，x1=−1，故x2=4，（2）证明：方程x−1x−2=m∵Δ=4∴原方程有两个不相同实数根，由根与系数的关系得x1+x∵x1∵−m∴x12．已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1,x2为该方程的两个根，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系．（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可求出答案．【详解】（1）证明：Δ==4=4k−1∵k−12∴4k−12+8>0∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1,x2是关于∴x1∴x13．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1,x2是方程x2【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：（1）求出判别式的符号，即可得出结论；（2）根据根与系数之间的关系，得到x1+x2=2k−1,【详解】（1）证明：∵x2∴Δ=∴无论k取何值，方程总有两个不等实根；（2）解：由题意，x1+x∴1x∴x1∴2k−1=3k−9，∴k=8．题型六分式方程的参数问题1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−4【答案】A【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．【详解】解：x+kx−4得x+3kx−4得x+3k=3x−12，解得：x=3k+12根据题意，解x=3k+12即3k+12<0，解得：k<−4，∵分母x−4≠0，即x≠4，即3k+122解得：k≠−4∴k<−4，故选：A．2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−1【答案】C【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【详解】解：方程去分母，得：mx−x=21−x整理，得：m+1x=2∵原方程无解，∴①整式方程无解，则：m+1=0，解得：m=−1；②分式方程有增根，则：x−1=0，解得：x=1；把x=1代入m+1x=2，得：m+1=2，解得：m=1综上：m=1或m=−1故选C．3．（2025·四川雅安·二模）若关于x的方程3x+2−2x−2=【答案】6或−4【分析】本题考查了解分式方程．将分式方程两边乘以最简公分母x+2x−2，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m【详解】解：方程两边同乘最简公分母x+2x−2，得3整理得x−10=mx，即m=x−10∵增根是使公分母为零的x值，∴x+2x−2解得：x1当x=−2时，m=x−10当x=2时，m=x−10则m的值为6或−4．故答案为：6或−4．4．（2025·江苏扬州·三模）已知关于x的分式方程2xx−1=mx−1+5【答案】m<5且m≠2【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得x=5−m3，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于【详解】解：2x去分母，得2x=m+5x−1解得：x=5−m分式方程的增根为：x=1∵分式方程2xx−1∴5−m3解得：m<5，且m≠2．故答案为：m<5且m≠2．题型七不等式（组）与整数解问题1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组12x−1<7−3【答案】2【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案．【详解】解：12解不等式12x−1<7−3解不等式3x−5>2x−2，得x>1∴原不等式组的解集为1<x<4，∴原不等式组的整数解为3，2共2个．故答案为：2．2．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组2x−3≤0x−a>0恰有3个整数解，则a的取值范围是【答案】−2≤a<−1【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．【详解】解：解不等式2x−3≤0得：x≤3解不等式x−a>0得：x>a，∵不等式组恰有3个整数解，∴−2≤a<−1，故答案为：−2≤a<−1．3．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定Gx,y=x+3y．若关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2G【答案】−17≤P<−7【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出−2≤P−3【详解】解：∵G∴关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2解不等式①得：a≤1解不等式②得：a>∵不等式组有3个整数解，∴整数解为−1,0,1，∴−2≤解得：−17≤P<−7故答案为：−17≤P<−7．题型八根据实际问题列方程1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．101+2x=16.9 C．101+x2【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以1+x的平方．【详解】解：∵初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x，∴一年后数量为101+x，两年后数量为10∴可列方程：101+x故选：B．2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程1500x−1000A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个【答案】D【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键．由x表示第一次购买魔方的数量，可得出(x−10)表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买10个，利用单价=总价÷数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低5元，进而可找出被墨水污染部分的文字．【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方，∴方程中(x−10)表示第二次购买魔方的数量，∴第二次比第一次少买了10个；∵单价=总价÷数量，∴1500x表示第一次购买魔方的单价，1000又∵所列方程为1500x∴第二次购买魔方的单价比第一次低5元，∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．故选：D．3．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（

）A．2x+5y=105x+2y=8 B．C．2x+5y=105x−2y=8 D．【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，∴5x+2y=10；∵2头牛、5只羊，共值金8两，∴2x+5y=8．∴根据题意可列出方程组5x+2y=102x+5y=8故选：D．4．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为A．61.2x+4C．61.2x−4【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的速度为1.2xkm/【详解】解：设小红的骑行速度为xkm/h根据题意，可得61.2x故选：A．5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的25，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xA．(12−x)(10−x)=12×10×25 C．(12−x)(10−2x)=12×10×25 【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程．确定矩形总面积：矩形地面长12m、宽10m,总面积为12×10m2;分析草坪的长和宽：花卉带宽度为xm,且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共2x),即【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为12×10m2，草坪面积为总面积的，即草坪面积为∵花卉带宽度为x m∴中间草坪的长应等于原矩形的长