广西壮族自治区钦州市2026届九年级初中学科素养第二次测试数学试卷(含答案)

2026年钦州市初中学科素养第二次测试数学（考试时间：120分钟，满分120分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．）1．下列各数中，是有理数的是A． B． C． D．2．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1400000000000斤，迈上了新台阶，亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为A． B． C． D．3．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是A． B． C． D．4．若式子有意义，则x的取值范围是A． B． C． D．5．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则A． B． C． D．6．若，面积比为，则与的周长比为A． B． C． D．7．下列计算正确的是A． B． C． D．8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是A． B． C． D．9．二次函数图象的对称轴是A． B． C． D．10．一元二次方程的根的情况A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为A． B． C． D．12．如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共84分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）13．若分式有意义，则的取值范围是_____________．14．分解因式：_____________．15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的全面积为_____________．16．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________．三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分8分）（1）计算：（2）解不等式：18．（本题满分10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．体育活动足球篮球排球乒乓球跳绳啦啦操人数612985（1）表格中的值为_____________；（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数；（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．19．（本题满分10分）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径．20．（本题满分10分）为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本．（1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价；（2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？21．（本题满分10分）综合与实践图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，）（1）求的度数；（2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值；（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的左视图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；（3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．23．（本题满分12分）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点．（1）如图1，若点与点重合，，求证：；（2）如图2，点，都在的延长线上，连接．①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法）②证明：；（3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明．2026年钦州市初中学科素养第二次测试数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）题号123456789101112答案DBCCDBAAABBA二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．14．15．16．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17．（1）解：原式 2分． 4分（2）解： 1分 2分． 4分18．解：（1）10； 3分（2）（人）， 5分答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人； 6分（3）选择乙，理由： 8分从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加． 10分（答案不唯一）．19．解：（1）连接，是中点，是中点，是的中位线， 1分，． 2分，，，． 3分是半径， 4分为的切线． 5分（2）在中，根据勾股定理，， 6分由（1）得，．，． 7分在中，，， 8分，即， 9分，的半径为3． 10分20．解：（1）设该校购买《西游记》的单价为元， 1分， 2分解得， 3分检验：时，，是原分式方程的解， 4分，答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元． 5分（2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，， 6分根据题意得，解得，为正整数，的最小值是4， 7分是关于的一次函数，且， 8分随的增大而增大， 9分∴当时，取得最小值，此时，答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低． 10分21．解：（1）过点作交于点，则， 1分，． 2分（2），且为定值， 3分是关于的正比例函数，且随增大而增大， 4分∴当时，最大．将、、代入，得，∴支架能承受的最大力约为． 5分（3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，∴四边形是矩形， 6分，，，，中，，，， 7分（），，（）， 8分，， 9分∴在中，，，即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 10分22．解：（1）当时，抛物线为． 1分∴抛物线的顶点坐标为； 2分（2）抛物线向上平移2个单位后为， 3分令，即， 4分，，解得或， 5分∴抛物线与轴的交点分别为，，； 6分（3），∴对称轴为直线， 7分，∴抛物线开口向上，，，∴当时，取到最小值为， 8分当时，取到最大值，最大值为， 9分的最大值与最小值之差为5，， 10分化简得：，即，，，， 11分，． 12分23．证明：（1），，，