全品高考备战2027年数学一轮学生用书15重点强化练(十五)焦点弦【答案】

重点强化练(十五)焦点弦1.A[解析]由题可知a2=2,b2=1,∴c=a2-b2=1,∴F(1,0),∴直线l的方程为y=3(x-1).由y=3(x-1),x22+y2=1,消去y整理得7x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=127,x1x2=472.C[解析]由抛物线的性质,可得|PF|=|PQ|,又∠PQF=30°,所以PF的倾斜角为120°,则12|PF|+|PQ|=12|PF|+|PF|=p=2,可得|PF|=433.D[解析]由2x2-y2=2,可得x2-y22=1,当直线l的斜率不存在时,|AB|=2b2a=2×(2)21=4,此时有1条直线符合要求;当直线l的斜率存在时,若A,B两点都在右支上,因为|AB|>2b2a=4,所以不符合要求;若4.D[解析]该抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直,所以两直线的斜率存在且不等于零.设AB的斜率为k,则CD的斜率为-1k,直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4(k2+1)k2,同理可得|CD|=4(k2+1),所以15.C[解析]如图,由题意,设|AF1|=5m,则|AB|=12m,|BF1|=13m,设|AF2|=n,则|BF2|=12m-n,因为A,B都在双曲线上,所以|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,即5m-n=13m-(12m-n)=2a,解得m=2a3,n=4a3,又|F1F2|=2c=|AF1|2+|AF2|2=10a36.B[解析]由题意可知F2(1,0),且当直线l的斜率为0时,|AF2|+|BF2|=2a=4,|AF2||BF2|=(a+c)(a-c)=a2-c2=b2=3,则λ=|AF2|+|BF2||AF2||BF2|=43;当直线l的斜率不为0时,可设直线l的方程为x=my+1,由x24+y23=1,x=my+1,消去x整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,由x1=my1+1,x2=my2+1,得x1+x2=m(y1+y2)+2=-6m23m2+4+2=83m2+4,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y17.A[解析]抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点K(-1,0).由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,将其代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则Δ=(2k2+4)2-4k2×k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,线段BF的中点坐标为x2+12,y22,垂直平分线的斜率为-1k.线段BF的垂直平分线方程为y-y22=-1kx-x2+12,即y-k(x2-1)2=-1kx-x2+12,代入K(-1,0)的坐标,化简得-k2(x2-1)=x2+3,则x2=k2-3k2+1,结合x1+x2=2k2+4k2,x8.C[解析]由x28+y24=1,得a=22,b=2,c=2,由题意可知|AF2|=|PF2|=b2a=422=2,|AF1|=2a-|AF2|=32,|F1F2|=2c=4,由S△AF1F2=|AF1|+|AF因为tan∠F2PQ=|QF2||F2P|=12=22,所以tan∠F2PB=2tan∠F2PQ1-tan2∠F2PQ=21-12=22,所以kPB=1tan∠F消去x整理得10y2-82y-4=0,所以2yB=-410=-25,则yB=-25.同理可得2S△BF1F2|BF1|+|9.BC[解析]对于A,由椭圆方程知a=2,b=3,c=1,∴椭圆的离心率e=ca=12,故A错误.对于B,设P(x0,y0),则S△PF1F2=12|F1F2|·|y0|=|y0|,∴当点P为椭圆短轴的端点时,△PF1F2的面积取得最大值3,故B正确.对于C,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|=|PF1|·(4-|PF1|)=-|PF1|2+4|PF1|=-(|PF1|-2)2+4,∵|PF1|min=a-c=1,|PF1|max=a+c=3,∴当|PF1|=2时,|PF1|·|PF2|取得最大值4,当|PF1|=1或3时,|PF1|·|PF2|取得最小值3,∴|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,4],故C正确.对于D,由椭圆定义知|PF1|=4-|PF2|,∴|PF1|+|PH|=4+|PH|-|PF2|≤4+|F2H|(当且仅当P,F2,H三点共线,且F2在H10.ABD[解析]对于A,由题可知|F1F2|=2a2+24=10,可得a=1,又b=26,所以双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x,故A正确;对于B,因为点P在右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=2①,因为∠F1PF2=π2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100②,由①②可得|PF1|=8,|PF2|=6,所以3|PF1|=4|PF2|,故B正确;对于C,若点P在第一象限,则直线l的斜率为tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=68=34,若点P在第四象限,由对称性可知,直线l的斜率为-325x2+10x+1=5x+1=8,解得x=75,则y2=24×752-24=24225,可得11.ABD[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2).对于A,由抛物线定义知,|AF|=x1+1,线段AF中点的横坐标x0=x1+12=12|AF|,即线段AF的中点到y轴的距离是12|AF|,所以以线段AF为直径的圆与y轴相切,故A正确;对于B,由题意知,F(1,0),显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1,易知P(-1,y1),Q(-1,y2),由y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为kPF=y1-1-1=-y12,kQF=y2-1-1=-y22,所以kPFkQF=y1y24=-1,所以PF⊥QF,故B正确;对于C,因为|PQ|2=|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2+16,|AF||BF|=|x1+1||x2+1|=(my1+2)·(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4,所以|PQ|2=4|AF||BF|,故C错误;对于D,当AF=2FB时,1-x1=2(x2-1),即x1+2x2=3,又x112.8[解析]由x2-y2=4,得a=b=2,c=22,则F(22,0),直线AB的倾斜角θ=30°.方法一:直线AB的斜率k=33,则直线AB的方程为x=3y+22.由x2-y2=4,x=3y+221+1k2|y1-y2|=2(y方法二:|AB|=2ab2|13.3[解析]方法一:由题意知,a=2,b=1,所以c=3,即F(3,0),故直线l的方程为y=2(x-3).由y=2(x-3),x24+y2=1,消去y整理得9x2-163x+20=0,解得x=233或x=1039,因为|方法二:设直线AB的倾斜角为α,由|AF|>|BF|可知|AF|=b2a-ccos由题意知a=2,b=1,则c=3,因为斜率2=tanα,所以cosα=33,所以|AF||BF|方法三:由题意知e=32,直线l的斜率k=2,设AF=λFB(λ>1),由焦比定理知e=1+k2·λ-1λ+1,即32=1+2·λ-114.±2103[解析]当直线过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作AA1的垂线,垂足为H.设|BF|=2m