全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第52讲椭圆【答案】听课手册

第52讲椭圆●课前基础巩固【知识聚焦】1.椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a=c(3)a<c2.-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐标轴(0,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2【对点演练】1.1436[解析]根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,由a2=100,得a=10,所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14.由c2=a2-b2=100-36=64,得c=8,所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=20+16=36.2.x216+y212=1[解析]因为椭圆的离心率e=ca=1-ba2,所以e越大,ba越小,椭圆越扁;e越小,ba越大,椭圆越圆.椭圆9x2+y2=36即椭圆x24+y236=1,其离心率e1=1-436=223,椭圆x23.x225+y29=1[解析]设d是点M到直线l:x=254的距离,则由题意知|MF|d=45,即(x-4)2+y4.线段[解析]由题意知|MF1|+|MF2|=12,|F1F2|=12,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段.5.x24+y23=1或[解析]∵椭圆C的中心在原点,其长轴长为4,焦距为2,∴a=2,c=1,∴b=a2-c2=3.当椭圆的焦点在x轴上时,C的方程为x24+y23=1;当椭圆的焦点在y6.1[解析]设P(x,y),依题意得F1(-2,0),F2(2,0),则PF1·PF2=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4=49x2+1,因为0≤x2≤9,所以1≤49x2●课堂考点探究例1[思路点拨](1)由椭圆的定义,结合题意,可得焦点坐标,从而可得a,b,c的值,可得答案.(2)思路一:根据题意,分析可得∠F1PF2=90°,可得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,将两式联立即可得到|PF1|·|PF2|的值;思路二:根据题意,分析可得∠F1PF2=90°,根据常用结论S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=12×|(1)C(2)B[解析](1)由题意可得动点M(x,y)到(-3,0)与(3,0)两点的距离之和为10,因为10>3+3=6,所以动点M(x,y)的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,易知a=5,c=3,b=a2-c2=4,故动点M的轨迹方程为x225(2)方法一:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°.因为c=5-1=2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,又|PF1|+|PF2|=2a=25,所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|方法二:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,则S△F1PF2=b2tan45°=1=12×|PF1|·|PF2|,所以|变式题(1)C(2)433[解析](1)方法一:根据椭圆的定义可知,|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=9,当且仅当|MF1|=|方法二:不妨设F1,F2分别为椭圆C:x29+y24=1的左、右焦点,则F1(-5,0),F2(5,0),设M(x,y),则|MF1|=59x2+25x+9=53x+32.因为x≥-3,所以53x+3>0,所以|MF1|=3+53x,又|MF1|+|MF2|=6,所以|MF2|=6-|MF1|=3-53x,则|MF1|·|MF2|=3+53x3-5(2)在椭圆y25+x24=1中,a=5,b=2,c=1,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=25,|F1F2|=2.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,由余弦定理得4=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=20-3|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=163,故S△PF1F2=1(3)由题意可得a=3,记椭圆的右焦点为F',如图,则△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+2a-|AF'|+2a-|BF'|=4a-(|AF'|+|BF'|-|AB|)≤4a=43,当且仅当直线l经过右焦点F'(不经过左焦点F)时取得等号,故△ABF的周长的最大值是43.例2[思路点拨](1)根据焦点坐标可得c,根据椭圆的定义可知椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a,可求出a,再由b2=a2-c2求出b2,进而得到椭圆的标准方程;(2)设出椭圆方程,由椭圆的对称性可判断椭圆过P3,P4两点,又P1,P4不同时在椭圆上,可确定点P2在椭圆上,将点的坐标代入椭圆方程计算,可求出a2,b2的值,从而写出椭圆的标准方程;(3)根据长轴长求出a,再结合离心率求出c,结合b2=a2-c2求出b2,分焦点在x轴、y轴上即可写出椭圆的标准方程;(4)设出椭圆方程,根据椭圆过的点列方程组求解即可.解:(1)根据题意,两个焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),即c=2,又椭圆经过点52所以2a=52+22+-322+52-22+-32故所求椭圆的标准方程为x210+y(2)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).因为P3,P4两点关于y轴对称,所以椭圆经过由P1(1,1),P41,32知,椭圆不经过点P1,所以点故1b2=1,1a2+3(3)因为椭圆的长轴长为6,所以a=3.因为椭圆的离心率为23,所以ca=23所以b2=a2-c2=9-4=5,所以所求椭圆的标准方程为x29+y25=1或y(4)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为椭圆过两点P(3,2所以9a2+28b2=1,变式题(1)D(2)B[解析](1)椭圆C的焦距为8,则|F1F2|=2c=8,故c=4.由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为12,得12|PF1||PF2|=12,即|PF1||PF2|=24,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64,所以(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=112,即4a2=112,所以a2=28,又c=4,则b2=a2-c2=12,则椭圆C的标准方程为x228+y2(2)由离心率e=ca=1-b2a2=13,得b2a2=89,即b2=89a2.由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),因为BA1·BA2=-1,所以-a2+b2=-1,将b2例3[思路点拨](1)设|PF2|=m,根据题意及椭圆的定义确定m,a的关系,用a表示出|PF2|,|PF1|,在Rt△F1PF2中,根据勾股定理得到关于a,c的齐次式,即可求解离心率;(2)由MF1·MF2=0得到点M的轨迹为以原点为圆心,c为半径的圆,再由点M总在椭圆的内部,可得c<b,结合a,b(1)A(2)C[解析](1)设|PF2|=m,因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=3m.因为P为椭圆C上一点,所以3m+m=2a,即m=12a,故|PF2|=a2,|PF1|=3a2.因为PF1⊥PF2,所以由勾股定理得a22+3a22=(2c)2,得52a2=4c2,即c2(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c.因为MF1·MF2=0,所以点M的轨迹为以原点为圆心,c为半径的圆.因为点M总在椭圆的内部,所以c<b,所以c2<b2=a2-c2,所以2c2<a2,故e2=c2a2<12,又例4[思路点拨](1)利用椭圆的对称性以及椭圆的定义,即可求出周长的最小值.(2)思路一:设P(x0,y0),根据点P在椭圆上确定x0,y0的关系,结合点B的坐标用y0表示|PB|2,结合y0的取值范围及二次函数的性质即可求出|PB|的最大值;思路二:设P(5cosθ,sinθ),求出B的坐标,利用两点间的距离公式,结合三角函数的有界性可求出|PB|的最大值.(1)D(2)A[解析](1)由椭圆的方程为x29+y24=1,得a=3,b=2,c=5.设F1为椭圆的左焦点,连接AF1,BF1,如图,则由椭圆的中心对称性可得四边形AF1BF2为平行四边形,故△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当A,B为短轴的端点时,|AB|取得最小值,最小值为2b=4,则l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10(2)方法一:设P(x0,y0),则x025+y02=1,即x02=5-5y02,|y0|≤1,易知B(0,1),所以|PB|2=x02+(y0-1)2=5-5y02+(y0-1)2=-4y0+142方法二:设P(5cosθ,sinθ),易知B(0,1),所以|PB|2=5cos2θ+(sinθ-1)2=-4sinθ+142+254,当sinθ=-14时,|PB|取得最大值,|PB【应用演练】1.B[解析]由点P(1,-a)在椭圆x2-y22a=2的内部,可得1-a22a<2,且2a<0,2a≠-1,解得-2<a<-12或-12<a<0,所以实数2.BC[解析]由椭圆E:x225+y29=1,可得a2=25,b2=9,所以c2=a2-b2=25-9=16,即a=5,b=3,c=4.对于A,椭圆E的长轴长为2a=10,所以A不正确;对于B,椭圆E的离心率e=ca=45,所以B正确;对于C,|PF1|∈[a-c,a+c]=[1,9],所以C正确;对于D,因为c>b,所以以F1F2为直径的圆与椭圆E有4个交点,即存在4个点P使得P3.B[解析]如图,由题意可知|AF2|=a,|F1B|+|F2B|=2a.根据|F1B|∶|AB|=4∶5,可设|F1B|=4m,|AB|=5m,则|F1B|+|AB|-|AF2|=4m+5m-a=|F1B|+|F2B|=2a,则m=a3,所以|F1B|=4a3,|AB|=5a3,|F2B|=2a3.在△BF1F2中,由余弦定理得16a29=4c2+4a29-2×2c×2a3cos∠F1F2B.又cos∠F1F2B=-cos∠AF2O=-ca,所以16a29=4c2+4a29+2×2c4.B[解析]如图,设以AB为直径的圆的圆心为E,F(23,0),连接OE,BF,因为点A在☉O内,所以两圆内切,所以|OE|=4-12|BA|,又OE为△ABF的中位线,所以|OE|=12|BF|,所以12|BF|=4-12|BA|,则|BA|+|BF|=8>4