全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第52讲椭圆【答案】作业手册

第52讲椭圆1.B[解析]根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,±3).故选B.2.B[解析]由题意可得2c=43,所以c=23.因为2a∶2b=2∶1,所以a=2b,又a2=b2+c2,所以4b2=b2+12,解得a2=16,b2=4,所以所求椭圆的方程为x216+y243.D[解析]因为方程x2k-4解得4<k<8且k≠6,所以实数k的取值范围是(4,6)∪(6,8).故选D.4.D[解析]依题意得,|MF2|=a-c,则|NF2|=2|MF2|=2a-2c,故|NF1|=2a-|NF2|=2c.在△NF1F2中,|F1F2|=2c,且∠NF1F2=60°,则△NF1F2为等边三角形,所以2a-2c=2c,得a=2c,则m=a2-c2=34a2=3.故选D5.B[解析]设椭圆的长轴长为2a,则|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=32|PF2|,所以|PF1|=6a5,|PF2|=4a5.由|PF1|-|PF2|=2a5≤2c,得e=ca≥156.ABD[解析]设椭圆C:x29+y24=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=5,所以C的焦距为25,故A正确;C的离心率为ca=53,故B正确;△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+25,故C错误;当点P位于椭圆C的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为12×2×27.x2254+y24=1(答案不唯一)[解析]设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题得c=32,所以a2-8.12[解析]由题意知|AM|=|MC|,故|BM|+|AM|=|BM|+|MC|=|BC|=10>|AB|=6,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去长轴端点),长轴长为10,焦距为6,则椭圆的长半轴长a=5,半焦距c=3,短半轴长b=a2-c2=4.不妨设A(-3,0),B(3,0),如图,则M的轨迹是椭圆x225+y216=1(除去点(-5,0),(5,0)),则△ABM的面积S=12×|AB|×|yM|=3|yM|,当|yM|取得最大值,即|9.解:(1)因为点Ac,b2在E上,所以c2a2+14=1,即c(2)如图,由Ac,b2及椭圆的对称性可得,Cc,-b2,B-c,-b2所以S△ABF=12|BF|·2c=12×b2×2c=bc2,S△ABC=12|BC|·|AC|=12×2c×2×b2=bc,又四边形AFBC的面积为332,所以S△ABC+S△ABF=bc+bc2=3bc2=332,则bc=3.由(1)可得a∶b∶c=2∶1∶3,则b=1,c=10.B[解析]由|AB|+|AC|+|BC|=12,且|BC|=4,可得|AB|+|AC|=8>4,由椭圆的定义可知,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(除去长轴端点),长轴长2a=8,焦距2c=4,可得a=4,c=2,则椭圆的短半轴长b=a2-c2=23.当点A运动到椭圆短轴的端点时,△ABC的面积最大,最大面积为12·2c·b=43.设△ABC的内切圆半径为r,则S△ABC=12(|AB|+|AC|+|BC|)·r=43,可得r=11.D[解析]如图所示.设|AF2|=m,因为|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=2a-|AF2|=2a-m.因为|BF1|+|BF2|=2a,|BF1|=a,所以|BF2|=a,所以|AB|=a+m,又因为|AF1|=|AB|,所以a+m=2a-m,解得m=12a,所以|AF1|=2a-12a=32a.在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF2(2c)2+12a2-32a22×2因为cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以(2c)2+a2-a22×2c×a+(2c)2+112.ABD[解析]对于A,依题意知,AB,F1F2互相平分,且|AB|=|F1F2|,则四边形AF1BF2是矩形,故AF1⊥AF2,A正确;对于B,四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,B正确;对于C,四边形AF1BF2的面积为2S△F1AF2=|AF1||AF2|=12[(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)]=2a2-2c2=2b2,C错误;对于D,设椭圆C的半焦距为c,由题意知以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有公共点,故c≥b,即c2≥b2=a2-c2,解得c2a2≥12,可得ca≥22.13.1[解析]如图,延长F1M,PF2,设交点为N.易知∠F1PM=∠NPM,∠PMF1=∠PMN,|PM|=|PM|,所以△PF1M≌△PNM,得|PF1|=|PN|,|MF1|=|MN|.由题知ca=45,2c=8,a2=b2+c2,可得a=5,b=3,c=4.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,由|PF1|=6,可得|PF2|=4,所以|NF214.解:(1)如图,依题意得c可得a所以椭圆C的方程为x216+y(2)由(1)得F1(-2,0),F2(2,0).将x=2代入x216+y212=1得416+y2又M在第一象限,所以M(2,3),又A(-4,0),故|AM|=(2+4)2+(3-0)2=35,直线AM的方程为y=3-0设N(4cosθ,23sinθ),θ∈[0,2π),则N到直线x-2y+4=0的距离d=|4cos8sinθ+5π6+45,所以当sinθ+5π6=1时,d取得最大值,且dmax=125,所以15.ABC[解析]对于B,如图,设P为椭圆上的一点,连接PF1,PF2,过点P作EF∥AD,EF分别与球O1,球O2相切于点F,E,由题可知PF1与球O1相切于点F1,PF2与球O2相切于点F2,故|PF1|+|PF2|=|PF|+|PE|=|EF|=|O1O2|,由椭圆的定义可知,该椭圆以F1,F2为焦点,|O1O2|为长轴长,故B正确;对于A,连接O1F1,设O为O1O2的中点,则O为F1F2的中点,由平面α与球O1相切于点F1,可得O1F1⊥OF1,故|O1F1|2=|OO1|2-|OF1|2=a2-c2=b2,故椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等,故A正确;对于C,由题意可得θ=∠O1OF1,则e=ca=|OF1||OO1|=cosθ,故C正确;对于D,由题意可得|AG1|=|F1G1|,θ=∠O1OF1=∠AO1F1,连接O116.ACD[解析]由题得椭圆C的长半轴长a=5,短半轴长b=4,半焦距c=3,故F1(-3,0),F2(3,0).对于A,当P为短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,最大面积为12×2c×b=bc=12,故A正确;对于B,若∠F1PF2的平分线过椭圆的中心,又|F1O|=|F2O|,则|PF1|=|PF2|,此时△F1PF2为等腰三角形,P为短轴的端点,而当P∠F1PF2的平分线不过椭圆的中心,故B错误;对于C,因为tan∠PF1F2=52,所以cos∠PF1F2=23,在△PF1F2中,由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos∠PF1F2,则|PF2|2=(10-|PF2|)2+36-2×6(10-|PF2|)×23,故|PF2|=143,所以|PF1|=163,故|PF1|∶|PF2|=8∶7,故C正确;对于D,若∠F1PF2=θ,则|PF2|2+|PF1|2-2|PF2||PF1|cosθ=36,即(|PF2|+|2|PF2||PF1|cosθ