全品高考备战2027年数学一轮学生用书13培优专训(七)解析几何运算优化策略【答案】作业手册

培优专训(七)解析几何运算优化策略1.D[解析]设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,因为FA=4FB,|AB|=3b,所以A,B,F三点共线,A,B分别在双曲线的两支上,且|FB|=b,|FA|=4b.根据双曲线的定义可知|F1B|=2a+b,|F1A|=4b-2a,|F1F|=2c.在△F1BF和△F1AF中,由余弦定理可得,cos∠F1FB=b216b2+4c2-(4b-2a)216bc,又c2=a2+b22.B[解析]不妨设点A1(x1,y1),A2(x2,y2)均在第一象限,由矩形A1B1C1D1与矩形A2B2C2D2的面积相等,得4x1y1=4x2y2,即x12y12=x22y22,又A1(x1,y1),A2(x2,y2)均在椭圆E上,所以x12·21-x126=x22·21-x226,即x12-x22=x143.A[解析]根据题意可知F2p2,0,设双曲线的半焦距为c,P(x0,y0),则p=2c,如图,过F1作x轴的垂线l,过P作l的垂线,垂足为A,显然直线AF1为抛物线的准线,则|PA|=|PF2|.由双曲线的定义及已知条件可得由勾股定理可知|AF1|2=y02=|PF1|2-|PA|2=12ac,又y02=4cx0,∴x0=3a,∴x02a2-y02b2=9a2a2-12acc2-a2=1,整理得2c2-3ac-2a2=(2c4.A[解析]如图所示,由题知F1(-c,0),F2(c,0),c>0,因为O为F1F2的中点,|MP|=2|PO|,所以P为△MF1F2的重心,所以Q为MF2的中点,又F1Q⊥MF2,所以|MF1|=|F1F2|=2c,由双曲线的定义可知,|MF1|-|MF2|=2a,所以|MF2|=2c-2a.因为|NF1|=2|MN|,所以|NF1|=4c3,|MN|=2c3.在Rt△ONF1中,cos∠NF1O=c43c=34,在△MF1F=(2c)2+(2c)2-(2c-2a)22×2c×2c=34,化简得c2-4ac+25.92[解析]由题意知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.设A(x1,y1),则由|AF|=3可得y1-(-1)=3,得y1=2,则x12=4×2,解得x1=±22,不妨取x1=22,则A(22,2).设B(x2,y2),则x2<0,y2>0,由△OAB的面积为322,得12(y1+y2)(x1-x2)-12x1y1-12(-x2)y2=322,即12(x1y2-x2y1)=322,即12(22y2-2x2)=322,则22y2-2x2=32,又x22=4y2,所以122x22-2x2=32,解得x2=-2或x6.解:(1)由题可知,Ap2,0,B-p2,0,所以菱形ABCD的边长为p,连接AC,如图.因为C在y则Dp,32p,所以|BD|=3(2)证明:易得直线AD的方程为y=3x-p2.与抛物线T的方程联立得3x2-px+p24=2px,整理得3x2-5px+3p24=0,解得x1=3p2,因为p=p2+3p2所以D为线段AM的中点.7.解:(1)由题意可知,轨迹C为实轴长为2,焦距为217,焦点在x轴上的双曲线的右支,则C的方程为x2-y216=1(x(2)方法一(常规思路,曲直联立+韦达定理):设T12,m,设直线AB的方程为y=k1x-12+m(k1∈(-∞,-4)∪(4,+∞)),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k1x-12+m,x2-y216=1,得16x2-k12x2-x+14+2k1mx易知x1>1,x2>1,则|TA|·|TB|=(1+k12)x1-12x2-12=(1+k12)x设kPQ=k2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k22)由(1+k12)m2+12k可得k12=k22,因为k1≠k2,所以k1=-k2,即k1+方法二(参数方程):设T12,m.设直线AB的倾斜角为θ联立直线AB的参数方程与曲线C的方程16x2-y2-16=0(x≥1),可得1614+t2cos2θ1+tcosθ1-(m2+t2sin2θ1+2mtsinθ1)-16=0,整理得(16cos2θ1-sin2θ1)t2设|TA|=t1,|TB|=t2,由根与系数的关系得|TA|·|TB|=t1·t1=-(m2+12设直线PQ的倾斜角为θ2,|TP|=t3,|TQ|=t4,同理可得|TP|·|TQ|=t3·t4=m2由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ1=cos2θ2,所以cosθ1=-cosθ1,由题意分析知θ1+θ2=π,所以tanθ1+tanθ2=0,故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.方法三(圆幂定理):因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以由圆幂定理知A,B,P,Q四点共圆.设T12,t,则直线AB的方程为y-t=k1x-12,直线PQ的方程为y-t=k由x2-y216=1,得过A,B,P,Q四点的二次曲线系方程为λk1x-y-k12+tk2x-y-k22+t+μx2-y216-1=0(λ≠0),整理得(λk1k2+μ)x2+λ-μ16y2-λ(k由于A,B,P,Q四点共圆,因此xy项的系数为0,即k1+k2=0.8.解:(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0).因为△RF1F2的周长L=|F1F2|+|RF1|+|RF2|=1+233|F1所以|RF1|+|RF2|=233|F1F2|,即2a=23所以C的离心率e=ca=3(2)(i)由题意知,直线OP的方程为y=k1x,因为OP与圆相切,所以|k1x0-y0|1+k12=22,化简可得(x02-8)k12-2x0y0k1所以k1,k2是关于k的方程(x02-8)k2-2x0y0k+所以x02-8≠0,且k1k2=由(1)可知ca=1-b2a2=32,故a=2b,则因为点R(x0,y0)在C上,所以x024b2+y02b所以k1k2=y02-8x02-8=b2-x024-8x02(ii)tan∠POQ=tan(∠POx-∠QOx)=tan∠POx-tan∠因为直线OP,OQ均与圆(x-x0)2+(y-y0)2=8相切,所以∠O