全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第9讲函数的四性质的应用【答案】作业手册

第9讲函数的四性质的应用1.D[解析]对于A选项,由二次函数的性质可知y=x2不是周期函数,A错误.对于B选项,由指数函数的性质可知y=2x不是周期函数,B错误.对于C选项,由一次函数的性质可知y=xcosx不是周期函数,C错误.对于D选项,由正弦函数的性质可知y=sinx是周期函数,D正确.故选D.2.D[解析]由题得f(2026)=f(-2+507×4)=f(-2)=cos-2×2π3=-13.C[解析]当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],因为f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1);当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.4.A[解析]由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以f-34=f34=f114=5-2×1145.B[解析]由题得b=fπ2=f4-π2,c=f-114=f-34=f34,且f(x)在[0,1]上单调递减,因为4-π26.C[解析]对于A选项,f(x+2π)=sin(x+2π)+12sin(2x+4π)+13sin(3x+6π)=sinx+12sin2x+13sin3x=f(x),故A选项错误;对于B选项,f(-x)=sin(-x)+12sin(-2x)+13sin(-3x)=-sinx-12sin2x-13sin3x=-f(x),故B选项错误;对于C选项,f'(x)=cosx+cos2x+cos3x,当x∈-π6,π6时,2x∈-π3,π3,3x∈-π2,π2,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C选项正确;对于D选项,116=1+12+13,当sinx=1时,x=π2+2k7.是-1[解析]由题知,f(x+2)=1-1f(x+1)=1-11-1f(x)=11-f(x),f(x+3)=1-1f(x+2)=1-[1-f(x)]=8.7[解析]因为f(x)满足f12+x=2-f12-x,所以当x=38时,f78+f18=2,当x=28时,f68+f28=2,即f34+f14=2,当x=18时,f58+f38=2,当x=0时,f12+f12=2,即f12=1,故f19.解:(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x.当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.(3)易得f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,因为函数f(x)的周期为4,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=1.10.C[解析]因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),则f(-x)=f(x+2),所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=f(2)=4+2a-2=0,解得a=-1,则f252=f12=f32=322-311.A[解析]对于A,由题意知x∈(0,1),若x=mn是有理数,且m,n(m<n)是互质的正整数,则n-m,n也是互质的正整数,所以fmn=1n=fn-mn=f1-mn,若x为无理数,则1-x也为无理数,所以f(x)=f(1-x)=1,所以f(x)的图象关于直线x=12对称,故A正确;对于B,f12-24=1,f12+24=1,显然f(x)的图象不关于点12,12对称,故B错误;对于C,f12=12,f23=13,所以f(x)在(0,1)上不单调递增,故C错误;对于D,若x为有理数mn(12.B[解析]由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称可知,g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),可得f(2-x)=f(2+x),因此函数f(x)的图象关于直线x=2对称.由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,由f(x)为R上的偶函数且图象关于直线x=2对称,可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.13.AC[解析]对于A,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可知其图象关于原点对称,又y=f(x+1)的图象可看成是由函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x)=-f(x+2),又f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的周期函数,故B错误;对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0,所以f(2027)=f(506×4+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=0,故C正确;对于D,由f(x+2)+f(x)=0,得f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的周期函数,所以∑14.ABD[解析]D(x)的定义域为R,当x为有理数时,-x是有理数,则D(-x)=D(x)=1,当x为无理数时,-x是无理数,则D(-x)=D(x)=0,所以D(x)为偶函数,所以f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sinπx·D(x)=-f(x),则f(x)是奇函数,故A正确;对于任意的整数2k,k∈Z,当x为有理数时,x+2k,k∈Z也是有理数,则D(x+2k)=D(x)=1,k∈Z,当x为无理数时,x+2k,k∈Z也是无理数,则D(x+2k)=D(x)=0,k∈Z,f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sinπx=f(x),k∈Z,即函数f(x)是周期函数,故B正确;函数D(x)的值域为{0,1},当x为无理数时,f(x)=0,当x为有理数时,f(x)=sinπx(x∈Q),πx不能取到一个周期内的所有实数,所以f(x)=sinπx(x∈Q)的值域不是[-1,1],故C错误;当x为有理数时,f(x)=sinπx,则f(x)在区间[-1,1]上有-1,0,1这3个有理数零点,故D正确.故选ABD.15.(-2,2)[解析]因为f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x的定义域为R,f(2-x)=e(2-x)-1+e1-(2-x)+(2-x)2-2(2-x)=e1-x+ex-1+x2-2x=f(x),即f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f'(x)=ex-1-e1-x+2x-2,当x>1时,ex-1>1,0<e1-x<1,2x-2>0,所以当x>1时,f'(x)=ex-1-e1-x+2x-2>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.因为不等式f(ax)<f(x2+3)对任意x∈R恒成立,所以|ax-1|<|x2+3-1|=x2+2恒成立,即-x2-2<ax-1<x2+2恒成立,所以x2-解得-2<a<2,所以实数a的取值范围是(-2,2).16.解:(1)证明:令g(x)=f(x+1)-1=21+2-x-1,显然函数因为g(x)+g(-x)=21+2-x-1+21+2x-1=2x+12x+1+21+2(2)因为函数y=1+21-x在R上为减函数,且y=1+21-x>0恒成立,所以f(x)=21+2由(1)知函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)+f(2-x)=2,即2-f(x)=f(2-x),所以2-f(5-2a)=f[2-(5-2a)]=f(2a-3),因为f(-a2)+f(5-2a)>2,所以f(-a2)>f(2a-3).因为f(x)=21+21-x是R上的增函数,所以-a2>2a-3,即a2+2a-3<0,解得-3<17.ACD[解析]对于A,令x=-1,则f(-2)+f(1)=-2,又因为f(-2)=0,所以f(1)=-2,故A正确.对于B,因为f(x-1)+f(-x)=-2,所以y=f(x)的图象关于点-12,-1对称.当x=-12时,f-12=-1;当x∈12,1时,f(x)≥-2x恒成立,令x=12,则