全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第9讲函数的四性质的应用【正文】听课手册

第9讲函数的四性质的应用【课标要求】1.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.

2.掌握函数的性质.函数的周期性(1)周期函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.

(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.不是所有的周期函数都有最小正周期.

常用结论1.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:(1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x)(a≠0),则(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则T=|a-b|.2.对称性与周期性之间的常用结论:(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.题组一常识题1.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)=.

2.[教材改编]若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=.

题组二常错题◆索引:“若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称”与“若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则周期T=|a-b|”混淆出错.3.若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的一个周期为.

4.写出满足y=f(2x-1)为R上的偶函数且f(0)=2的一个函数f(x)的解析式:.

函数的周期性例1(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)=.

(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为.

总结反思1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期.2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.变式题(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)= ()A.-13 B.-C.13 D.(2)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则 ()A.f(2027)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点函数的奇偶性、对称性与周期性例2(多选题)[2026·广东深圳中学摸底考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是 ()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称D.函数f(x)为奇函数总结反思(1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换.(2)函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)表明的是函数的对称性,函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆.变式题(1)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 ()A.f-12=0 BC.f(2)=0 D.f(4)=0(2)[2025·嘉兴二模]已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=1,f(x)=f(3-x),f(x)+f(x+3)=f(2025),则∑k=12025f(k)= A.-1 B.0C.1 D.2例3[2022·全国乙卷]已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑k=122f(kA.-21 B.-22C.-23 D.-24变式题(多选题)[2025·福建部分优质高中4月联考]已知函数f(x),g(x)的定义域为R,若函数g(x+1)-1是奇函数,函数f(x+1)是偶函数,f(3)=1,且f(x)-g(1+x)=2,则下列结论正确的是 ()A.函数f(x)的图象关于直线x=2对称B.函数g(x)为偶函数C.4是函数g(x)的一个周期D.∑k=136g函数的对称性、周期性与单调性例4(多选题)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则下列结论中正确的是 ()A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在[1,2]上单调递增D.f(2)=f(0)总结反思函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性是函数的四大性质,解决四大性质综合的问题,通常先由奇偶性和对称性得出周期,再由已知单调区间得出其他单调区间,最后在整个定义域上解决问题.变式题(多选题)已知定义域为R