全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第9讲函数的四性质的应用【答案】听课手册

第9讲函数的四性质的应用●课前基础巩固【知识聚焦】(1)f(x+T)=f(x)(2)最小的正数最小正数【对点演练】1.8[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=8.2.5[解析]∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),又f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5.3.3(答案不唯一)[解析]因为|-1-2|=3,所以f(x)的一个周期为3.4.f(x)=(x+1)2+1(答案不唯一)[解析]由y=f(2x-1)为R上的偶函数可得f(-2x-1)=f(2x-1),所以f(-x-1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=-1对称,又f(0)=2,所以满足条件的一个函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2+1.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)通过已知条件得到函数f(x)的周期,结合f(3)=2得到结果.(2)根据函数f(x)的周期以及偶函数的性质,得到函数f(x)在[2,4]上的解析式.(1)132(2)f(x)=log2(5-x[解析](1)∵f(x)f(x+2)=13,∴f(x+2)=13f(x),∴f(x+4)=13f(x+2)=1313f(x)=f(x),(2)根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],所以4-x∈[0,2],又当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),所以f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)是周期为4的偶函数,所以当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),即当x∈[2,4]时,f(x)=log2(5-x).变式题(1)A(2)AB[解析](1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),则f(x)=-f(x-2),于是f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),即函数f(x)的周期为4.而8<12<16,则3<log212<4,则-1<log212-4<0,又当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log212)=f(log212-4)=flog234=-flog24(2)对于A,f(2027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;对于B,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[-1,2],由函数f(x)是偶函数,可得f(x)在[-2,0]上的取值范围也为[-1,2],又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)的值域为[-1,2],所以B正确;对于C,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又f(x)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上也单调递增,所以C错误;对于D,当x∈[0,2]时,令f(x)=2x-2=0,得x=1,所以f(1)=f(-1)=0,又f(x)的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.故选AB.例2[思路点拨]综合利用函数的周期性、对称性、奇偶性,逐一对选项进行分析判断.BC[解析]对于A,由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,所以选项A错误;对于B,因为y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以选项B正确;对于C,因为f(2-x)=f(2+x)=-f(x),所以f(2-x)+f(x)=0,则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以选项C正确;对于D,因为f(2-x)=f(2+x),所以f(-x)=f(4+x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,所以选项D错误.故选BC.变式题(1)B(2)D[解析](1)方法一:因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),且有f(2×0+1)=f(1)=0.又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,得f(3)=f(1)=0.在f(-2x+1)=-f(2x+1)中,令x=1,得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B.方法二:因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2x)的图象关于点12,0对称,从而f(x)的图象关于点(1,0)对称,于是函数f(x)的周期T=4×|2-1|=4.因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0.因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0方法三:因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以可取f(x)=cosπ2x,这时f-12=22,f(-1)=0,f(2)因为f(2025)=f(x)+f(x+3),所以f(3+x)+f(x+6)=f(2025),所以f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期为6,所以f(x)+f(x+3)=f(2025)=f(337×6+3)=f(3).由f(x)=f(3-x),f(x)+f(x+3)=f(3),f(1)=1,令x=0有f(0)=f(3),f(0)+f(3)=f(3),所以f(0)=f(3)=0,所以f(x)+f(x+3)=0,令x=1有f(1)=f(2)=1,f(1)+f(4)=0,即f(4)=-f(1)=-1,令x=2有f(2)+f(5)=0,即f(5)=-f(2)=-1,又f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+1+0+(-1)+(-1)+0=0,所以∑k=1例3[思路点拨]将已知两个方程代换后得到函数g(x)的周期,利用f(x)与g(x)的关系即可计算.D[解析]由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1,f(4)=g(4)-7=1,所以∑k变式题BCD[解析]因为f(x+1)是偶函数,所以f(1-x)=f(1+x).因为g(x+1)-1是奇函数,所以g(-x+1)-1=-[g(x+1)-1],即g(x+1)+g(1-x)=2,又f(x)-g(1+x)=2,所以f(x)+g(1-x)=4,所以f(1-x)+g(x)=4,则f(1+x)+g(-x)=4,所以g(-x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,故选项B正确.因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)=f(2-x),由f(x)-g(1+x)=2,得f(2-x)-g(3-x)=2,所以g(1+x)=g(3-x),得g(x)=g(4-x)=g(-x),所以g(4+x)=g(x),所以4是函数g(x)的一个周期,故选项C正确.由f(x)-g(1+x)=2,f(3)=1,得f(3)-g(4)=2,所以g(4)=-1,所以g(0)=-1,由g(1-x)+g(1+x)=2,得g(1)+g(1)=2,g(0)+g(2)=2,所以g(1)=1,g(2)=3,因为g(2)≠g(4),所以f(1)≠f(3),故选项A错误.由g(1+x)=g(3-x),得g(1)=g(3)=1,则g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=4,所以∑例4[思路点拨]由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x)得f(x)是以4为周期的周期函数及f(x)的图象关于直线x=1对称,综合分析得出结论.ABD[解析]由f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0,取y=-x,得f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是R上的奇函数.由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,故C错误;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D正确.故选ABD.变式题ABC[解析]由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(0)=f(2),又由f(1+x)=f(1-x),可知f(2+x)=f(-x).因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),所以f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A,B正确.因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且f(x)的周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确.根据f(x)的周期为4,可得f(2021)=f(1),f(20