全品高考备战2027年数学一轮学生用书12增分微课9与圆有关的圆锥曲线问题【正文】听课手册

类型一圆锥曲线内切圆例1已知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为抛物线的焦点,抛物线内部一点E(1,1),抛物线上任意一点P满足|PF|+|PE|的最小值为2,直线l:y=13x+m与抛物线C交于A,B两点,△OAB(O为坐标原点)的内切圆圆心恰是E(1,1)(1)求抛物线C的方程;(2)求直线l的方程.

总结反思圆锥曲线与三角形结合的内切圆问题:1.“画图”:准确的草图能帮助直观理解题意,发现对称性,猜测圆心位置,避免漏解或多解.2.优先考虑几何性质,再考虑代数运算:代数联立(判别式法).3.利用对称性简化计算:绝大多数圆锥曲线内切圆问题的图形都具有对称性(关于x轴、y轴或原点).4.“切”的转化:与直线相切⇔圆心到直线的距离d=r.变式题[2025·广东东莞期末]已知双曲线x24-y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2且倾斜角为π4的直线l与该双曲线交于M,N两点(点M位于第一象限),若△MF1F2的内切圆半径为R1,△NF1F2的内切圆半径为R2类型二四点共圆问题例2[2025·南通模拟]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,下顶点为A,点B(3,1)在C上,过AB的中点D的直线l(与直线AB不重合)交C于M,(1)求C的方程;(2)若A,B,M,N四点共圆,求直线l的方程.

总结反思证明四点共圆,主要有以下四种基本方法:1.利用对角互补(应用最广);2.利用同弦对等角(定点定线);3.利用相交弦定理或割线定理的逆定理;4.坐标法(建立坐标系,验证共圆条件).变式题[2025·云南昆明一模]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA交C的准线于点D.(1)当l的倾斜角为π4时,求|AB(2)求直线BD的斜率;(3)若O,F,B,D四点共圆,求该圆的半径.

类型三隐圆问题例3[2025·全国一卷]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223,下顶点为(1)求C的标准方程.(2)已知动点P(m,n)不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.(i)求R的坐标(用m,n表示);(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.

总结反思在直线与圆的问题中,一些题目通常不明确给出圆的相关信息,而是需要通过分析、转化等途径挖掘内在圆,再利用圆的性质解决问题,这就是“隐圆问题”.(1)动点到定点的距离等于定长,动点的轨迹是圆.(2)动点到两定点的距离的平方和为定值,动点的轨迹是圆.(3)动点与两定点的两条连线的夹角为直角,动点的轨迹是不包含两定点的圆.(4)已知A,B为两个定点:①若动点P满足PA·PB=ω(ω为某个定值),则点P的轨迹是圆,②若动点P满足|PA|=ω|PB|(ω>0且ω≠1),则点P的轨迹是圆.变式题在平面直角坐标系xOy中,两点A(-1,0),B(9,0),点P满足|PA|2+|PB|2=82.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)已知圆O2:x2+y2-8y=0,求圆心在直线x-y-2=0上,且过圆O2与曲线C交点的圆的方程;(3)过点A作直线l交曲线C于M,N两点,D(5,0),求△DMN的面积的最大值.

类型四动圆过定点例4如图,过抛物线x2=4y的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,准线l'交对称轴于点Q,过焦点且平行于准线l'的直线交抛物线于点P,直线PA,PB分别交准线l'于C,D两点.(1)证明:以CD为直径的动圆过定点;(2)若直线l交准线l'于点G,求证:点G恰为(1)中圆的圆心.

总结反思“动圆过定点”问题,在解析几何中常见的是研究一类动圆(即圆心或半径随时间或其他参数变化的圆)是否总是经过一个或多个固定点.这类问题通常涉及圆的性质、方程求解以及参数处理.变式题[2025·山西临汾三模]在平面直角坐标系xOy中,设