全品高考备战2027年数学一轮学生用书04增分微练3利用切线解决最值范围问题【答案】作业手册

增分微练3利用切线解决最值范围问题1.C[解析]设与直线y=x2平行且与f(x)=12lnx的图象相切的直线为l,l与曲线y=f(x)的切点坐标为x0,12lnx0.因为f'(x)=12x,所以12x2.C[解析]易知y=k(x-1)的图象过定点(1,0),且点(1,0)在y=lnx的图象上.∵y=lnx,∴y'=1x,∴y=lnx的图象在x=1处的切线斜率k=y'

x=1=1,作出y=lnx的图象如图.结合图象可得,当k≤0时,y=k(x-1)与y=lnx的图象有且只有一个公共点,则k≤0符合题意;当0<k<1时,y=k(x-1)与y=lnx的图象有两个公共点,则0<k<1不符合题意;当k=1时,y=k(xlnx的图象有且只有一个公共点,则k=1符合题意;当k>1时,y=k(x-1)与y=lnx的图象有两个公共点,则k>1不符合题意.综上所述,实数k的取值范围为{1}∪(-∞,0].故选C.3.D[解析]因为函数y=ex与y=lnx互为反函数,其图象关于直线y=x对称,所以可先求点P到直线y=x的最近距离d.设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b,因为y'=ex,由ex=1,可得x=0,所以切点的坐标为(0,1),即b=1,所以d=112+(-1)2=24.A[解析]由圆的对称性可得,只需考虑圆心M(1,0)到函数f(x)=ex的图象上任意一点的距离的最小值.设f(x)的图象上任意一点为N(m,em),f(x)的图象在点N(m,em)处的切线为l,因为f'(x)=ex,所以切线l的斜率为em,当MN⊥l时,圆心M(1,0)到点N的距离最小,此时emm-1=-e-m,则e2m+m-1=0.设g(x)=e2x+x-1,则g'(x)=2e2x+1>0,g(x)在R上单调递增,又g(0)=0,所以m=0,所以N(0,1),所以圆心M(1,0)到f(x)的图象上任意一点的距离的最小值为2,所以线段PQ长度的最小值为25.A[解析](x-m)2+(aex-3m)2表示点A(x,aex)与点B(m,3m)间的距离的平方,∴点A在曲线y=aex(a>0)上,点B在直线y=3x上.设与直线y=3x平行的直线与曲线y=aex相切于点P(x0,aex0),∵y'=aex,∴aex0=3①.点A(x,aex)与点B(m,3m)间的距离的平方的最小值等于点P(x0,aex0)到直线y=3x的距离的平方,则|aex0-3x0|10=310,∴|aex0-3x0|=3②.由①②得x0=0,a=3或x0=2,a=3e-2.当a=3时,曲线y=3ex与直线y=3x不相交,符合题意;当a6.C[解析]因为函数f(x)=lnx与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,所以关于x的方程lnx=ax2-ax有两个不同的解,所以关于x的方程lnxx=a(x-1)有两个不同的解,所以函数y=lnxx与函数y=a(x-1)的图象有两个不同的交点.设h(x)=lnxx,则h'(x)=1-lnxx2,当x>e时,h'(x)<0,则函数h(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减,当0<x<e时,h'(x)>0,则函数h(x)=lnxx在(0,e)上单调递增,又h(1)=0,h(e)=1e,当x>1时,h(x)>0,所以函数h(x)=lnxx的图象如图(横、纵坐标轴的单位长度不同).因为h'(1)=1,所以函数h(x)=lnxx的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.观察图象可得,当a=1时,y=a(x-1)与h(x)=lnxx的图象有且只有一个交点;当a≤0时,y=a(x-1)与h(x)=lnxx的图象有且只有一个交点;当7.B[解析]令f(x)=0,得x=12lna或x=b,因为f(x)只有一个零点,所以b=12lna,如图,在坐标系aOb中,作出函数b=12lna的图象,a2+(b-2)2可以看成点(a,b)到点A(0,2)的距离的平方.取点B(1,0),对函数b=12lna,求导得b'=12a,则函数b=12lna的图象在(1,0)处的切线的斜率为12,则切线方程为b=12(a-1),又直线AB的斜率kAB=-2,则直线b=12(a-1)与线段AB垂直,由图可知,函数b=12lna(a≠1)的图象在直线b=12(a-1)的下方,可知a8.ACD[解析]设A,B的横坐标分别为x1,x2,则ex1=lnx2+1=m,因为ex1>0,所以m>0,故A正确;当m=1时,x1=0,x2=1,因为f'(x)=ex,g'(x)=1x,所以f'(x1)=f'(0)=1,g'(x2)=g'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线斜率相等,两切线不相交,故B错误;|AB|=x2-x1=em-1-lnm,设h(m)=em-1-lnm(m>0),则h'(m)=em-1-1m(m>0),易知h'(m)在(0,+∞)上单调递增,且h'(1)=0,所以当m∈(0,1)时,h'(m)<0,h(m)单调递减,当m∈(1,+∞)时,h'(m)>0,h(m)单调递增,所以|AB|min=h(m)min=h(1)=1,故C正确;曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-ex1=ex1(x-x1),若此切线同时也是曲线y=g消去x0,y0得(x1-1)ex1-x1=0,设φ(x)=(x-1)ex-x,则φ(-1)=-2e+1>0,φ(0)=-1<0,φ(2)=e2-2>0,因为φ(x)的图象是连续的,所以φ(x)至少有两个零点,所以(x1-1)ex1-x1=0有解,所以9.(-4,4)[解析]由f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,设斜率为1的直线与f(x)的图象相切于点M(x0,y0),则f'(x0)=1,即(x0+1)ex0=1,解得x0=0,则切点为M(0,0).当点M(0,0)到直线y=x+a的距离为22时,可得|a|2=22,解得a=4或a=-4.由f'(x)=(x+1)ex可得,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又当x→-∞时,f(x)→0且f(x)<0,当x=0时,f(0)=0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)的图象如图所示.当a=-4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x-4不相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有一个点到直线y=x-4的距离为22;当a=4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x+4相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有三个点到直线y=x+4的距离为22.综上,要使到直线y=x+a的距离为22的点P有且仅有两个,则-4<a10.[1,e][解析]设f(x)=2+lnx,g(x)=ex,依题意知,只需求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线斜率.f'(x)=1x,g'(x)=ex,设切点分别为(x1,2+lnx1),(