全品高考备战2027年数学一轮学生用书12培优专题(六)立体几何中的融合、交汇问题【正文】听课手册

类型一几何体与球的交汇问题几何体与球的交汇题在2025高考题大题中呈现,此类交汇题需重视,可以用传统法破解,也可以用向量法破解,需针对题目的特征,选定优解.此类交汇题意在考查空间想象能力,处理交汇性问题的能力.例1[2025·全国一卷]如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=AB=2,AD=3+1,BC=2,P,B,C,D四点在同一个球面上,设该球的球心为O.(i)证明:O在平面ABCD上;(ii)求直线AC与直线PO所成的角的余弦值.

总结反思几何体与球交汇问题的解题策略:一是利用球体的定义;二是利用特殊几何体的性质;三是补成特殊几何体,转化为特殊几何体的外接球问题;四是利用球体的性质.自测题如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;(2)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积;(3)求三棱锥B-PAM的体积.

类型二立体几何与解析几何的交汇问题立体几何与解析几何交汇问题是各省市质检题的一个亮点,以其新颖性、综合性而“闪亮登场”,这正好体现了能力立意及在知识网络交汇点处设计命题的精神.意在提升空间想象能力,数形结合能力,以及处理交汇性问题的能力.例2[2026·广东广州质检]如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为底面ABCD上一动点,且满足A1M⊥AC1,过点M作MF⊥AB,ME⊥AD,垂足分别为F,E,直线ME与直线DF交于点P.(1)若以D为原点,DA为x轴,DC为y轴建立平面直角坐标系,求点P的轨迹方程.(2)以PC为直径作圆O,以圆O为底面,AA1为高作圆柱OO1,是否存在一个与平面ADD1A1平行的平面α,使得该平面与圆柱OO1相交,且所得截面面积为定值?若存在,确定平面α的位置,并求截面的面积;若不存在,说明理由.

总结反思破解立体几何与解析几何交汇问题的关键是以立体几何为背景,通过研究立体几何中点、线、面的位置关系或数量关系,从而转化为平面图形问题,在坐标系的基础上,判断动点的轨迹、求曲线的方程等.自测题[2025·湖南长沙模拟]三棱锥P-ABC中,底面ABC为等腰直角三角形,CA=CB=22,PA=10.点P在底面ABC上的射影E是棱AB上靠近点A的四等分点.(1)求PB与平面PCE所成角的正弦值.(2)设AB靠近B的四等分点为F,D是平面ABC内的动点,且C,D在直线AB的两侧,满足DE+DF=4.是否存在点D使得平面PBD⊥平面PBC?若存在,请求出DE的长度;若不存在,请说明理由.

类型三立体几何与新定义相融合立体几何与新定义相融合题是指题目中首先给出一个有关空间几何体的新定义,通过阅读题目提供的材料,理解新定义,再根据理解来解题,意在提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.例3从O点引出三个不共面的向量e1,e2,e3,它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同,则这个标架O;e1,e2,e3构成右手标架,如图所示.规定:a×b为一个向量,它的长度为|a|·|b|sin<a,b>,它的方向与向量a,b均垂直,且使{O;a,b,a×b}构成右手标架.该运算满足,a×(λb)=λ(a×b),c×(a+b)=c×a+c×b.{i,j,k}为单位正交基底,且{O;i,j,k}符合右手标架,以i,j,k的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,若m=xi+yj+zk,则记(1)证明:a×b=-(b×a).(2)已知向量a=(1,2,0),b=(1,0,3),求a×b的坐标表示.(3)①三棱锥O-ABC中,OA×OB=(1,2,2),OC=(2,1,2),求三棱锥O-ABC的体积VO-ABC;②请结合“×”与“数量积”的几何意义,用AB,AD,AA1表示平行六面体ABCD-A1B1C1D1

总结反思立体几何与新定义相融合题的解题关键:一是读懂,即读懂新定义的含义;二是建模,根据题目给出的新定义,建立立体几何的模型;三是研模,即研究模型,根据新定义进行由特殊到一般的规律总结,最后解决问题.自测题空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π减去多面体在该点处所有面角之和,多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和,多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商,其中多面体的面的内角叫作多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为π3,故其各个顶点的曲率均为2π-3×π3(1)如图①,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ADC=π3,O为BD的中点,且PO⊥平面ABCD,AB=2PO=2(i)求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值;(ii)求平面PAB与平面ABD的夹角的正弦值.(2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他对简单多面体进行研究后,提出了著名的欧拉定理:简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足V+F-E=2.请运用欧拉定理解决下列问题:碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高