全品高考备战2027年数学一轮学生用书12第30讲余弦定理、正弦定理应用举例【正文】听课手册

第30讲余弦定理、正弦定理应用举例【课标要求】能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫(如图①).

2.方位角从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角,范围为[0°,360°)(如图②).3.方向角从指定方向线到目标方向线所转过的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°,如图③).4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比(如图④,i为坡度).题组一常识题1.[教材改编]如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点间的距离为.

2.[教材改编]如图所示,为测量某树的高度PQ,在地面上选取A,B两点,其中A,B,Q三点共线,从A,B两点测得树尖P的仰角分别为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则该树的高度为.

3.[教材改编]已知两座灯塔A和B到海洋观察站C的距离都等于2km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B间的距离为.

题组二常错题◆索引:仰角、俯角的概念不清致误;方向角、方位角的概念不清致误.4.如图,在100m高的楼顶A处,测得正西方向地面上B,C两点(B,C与楼底在同一水平线上)的俯角分别是75°和15°,则B,C两点之间的距离为.

5.点A在点B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角是.

测量距离问题例1如图,在某市地面有四个5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在江的南岸,距离为103km,基站A,B建在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则基站A,B之间的距离为 ()A.106km B.30(3-1)km C.30(2-1)km D.105km总结反思测量距离问题的解题步骤:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解,若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解;(2)确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可用,那么就选择更便于计算的定理.变式题(1)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 ()A.202海里 B.402海里C.403海里 D.30海里(2)小华为测量A,B(视为质点)两地之间的距离,选取C,D(与A,B在同一水平面上)两点进行测量,已知D在C的正东方向上,CD=2AD=40米,A在C的北偏东60°方向上,B在D的南偏西30°方向上,BD=30米,则A,B两地之间的距离是 ()A.40米 B.1013米C.1019米 D.60米测量高度问题例2(1)某船在海面上航行至A处,测得山顶P位于其正西方向,且仰角为45°,该船继续沿南偏东30°的方向航行600米至B处,测得山顶P的仰角为30°,则该山顶高于海面 ()A.300米 B.400米C.500米 D.600米(2)如图,小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度,他在自己家阳台M处测得M到楼地面底部点N的距离MN为40(2-3)m,假设电视塔底部为点E,顶部为点F,在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P,且E,N,P三点共处同一水平线,EF,MN和点P在同一平面内,在P处测得阳台M、电视塔顶部F的仰角分别是α=15°和β=60°,在阳台M处测得电视塔顶部F的仰角γ=45°,则小明测得的电视塔的高度EF为 ()A.120m B.90mC.403m D.(803-120)m总结反思(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线之间的夹角.(2)要根据题意正确画出图形,同时空间图形和平面图形要区分开,以免影响解答.变式题[2025·福建部分优质高中4月适应性模拟]如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D,现测得∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=40米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为 ()(参考数据:2≈1.4,6≈2.4,tan64°≈2.0,cos37°≈0.8)A.40米 B.42米C.51米 D.60米测量角度问题例3某渔船在航行过程中不幸遇险,发出求救信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测得该渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以103海里/时的速度沿直线前去营救,恰好在B处追上渔船,求舰艇航行的方位角和追上渔船所需的时间.

总结反思(1)先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键和最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,再确定使用正弦定理还是余弦定理解决问题.变式题(1)一艘巡逻舰从海岛A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从海岛B出发,沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和距离分别为 ()A.北偏东80°,20(6+2)海里B.北偏东65°,20(6+2)海里C.北偏东65°,20(3+2)海里D.北偏东80°,20(3+2)海里(2)(多选题)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°,距离为126nmile处,测得灯塔C在北偏西30°,距离为