自动控制原理董立静习题答案

第1章习题参考答案1.1什么是开环控制系统？具有什么特点？答：开环控制系统是指输入量直接传输到控制器，并通过执行机构对被控对象产生控制作用，输出端与输入端之间只有顺向作用，不存在反馈回路，输出量对控制过程没有影响的系统。特点：优点：结构简单、价格便宜；缺点：精度较低，抗干扰能力较差。1.2什么是闭环控制系统？具有什么特点？答：闭环控制系统是指输出量通过检测装置反馈到输入端，与输入量比较后的偏差信号作用到控制器，控制器的输出驱使执行机构调节被控对象，从而使偏差不断减小的系统。其核心是反馈，通过检测装置将输出量返回到系统的输入端，与输入量作比较，产生的偏差对系统的控制过程产生影响，从而降低或消除偏差，使得输出量与期望值趋于一致特点：优点：控制精度高、抗干扰能力强；缺点：结构复杂，价格较贵。1.3列举一个生活中的开环控制系统，并简述其工作原理。答：实例：普通电风扇；工作原理：用户通过旋钮或按钮设定风扇的档位（如低速、中速、高速），控制电路根据档位信号直接调节电机电压，改变风扇转速，风扇以固定转速运行，但系统不会检测实际风速或环境温度来调整转速，若外界环境变化（如电压波动或风口被遮挡），风扇转速可能偏离设定值，但系统无法自动修正。1.4列举一个生活中的闭环控制系统，并简述其工作原理。答：实例：空调温度控制系统；工作原理：用户设定目标温度后，温度传感器实时检测室内温度并反馈给控制器。控制器将检测值与设定值比较，若存在偏差，则调节压缩机或风机的运行状态（如加快制冷或停止运行），直到室内温度与设定值一致。1.5简述自动控制系统的基本性能要求。答：自动控制系统的基本性能要求可概括为“稳、快、准”：稳定性：首要条件，受到扰动作用或输入量发生变化时，系统从偏离状态恢复到平衡状态的能力。稳定性是系统能够正常工作的前提。快速性：系统动态过程中输出量调节的快慢程度，反映响应速度。快速性是对系统动态过程的定性分析，动态性能指标可以对动态过程的性能进行定量描述。准确性：系统进入平衡状态后，输出量稳态值与期望值之间的偏差，表明了系统控制的准确程度，即控制精度。偏差值称为稳态误差，定量表征系统的稳态性能指标。1.6简述自动控制系统的基本组成环节。答：闭环控制系统的基本组成环节包括：被控对象：要进行控制的设备或过程，所控制的某个物理量就是系统的被控制量或输出量；检测装置：用来检测输出量的装置，根据输出量的类型选择相应的传感器，并且进行反馈到输入端；控制器：根据输入量与检测装置反馈信号比较后的偏差，进行信号放大、校正等运算的环节，其输出通常称为控制量；执行机构：直接作用于被控对象上的元件。1.7根据主要元件的输入输出特性，自动控制系统可以分为哪两种类型？答：线性系统：由线性元件组成，可用线性微分方程描述，满足叠加性和齐次性。若系统中各项系数为常数则称为定常系统（也称为时不变系统），若系数随时间变化则称为时变系统。非线性系统：包含非线性环节，需用非线性微分方程描述。即微分方程式的系数与输入变量有关。典型的非线性环节有继电器特性环节、饱和特性环节和不灵敏区环节等1.8从不同的角度出发，自动控制系统可以分为不同的类型，按照给定量的特征，可以分为恒值系统、随动系统，请分别解释恒值系统和随动系统的概念。答：恒值系统：给定量为常值，要求被控量也为常值的系统。随动系统：输入量是随时间不断变化的，要求被控量以尽可能小的误差跟随输入量的变化。1.9经典控制理论适用于分析哪种类型的自动控制系统？答：经典控制理论适用于分析单输入单输出（SISO）的线性定常系统，以传递函数为基础，主要采用时域分析法、根轨迹法和频域分析法。1.10自动控制系统的分析方法包括哪些？答：经典控制理论中的分析方法包括：时域分析方法、根轨迹分析方法、率特性分析方法。

第2章习题参考答案2.1什么是系统的数学模型？在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些？答：系统的数学模型：是描述控制系统输入、输出及内部物理量之间关系的数学表达式。常见的数学模型形式有：微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图等。2.2什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？传递函数有哪些特点？答：传递函数：线性定常系统的传递函数是在初始条件为零的情况下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。定义传递函数的前提条件：零初始条件。传递函数的特点：当输入输出的位置确定后，传递函数表达式唯一，与输入输出信号的形式无关，只与系统的固有结构和参数有关。2.3列写出3种传递函数常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大系数。答：传递函数三种常用的表达形式：传递函数分母多项式的最高阶次n定义为系统的阶数，为系统的零点，为系统的极点。称为放大系数，称为根轨迹放大系数。2.4什么是系统的开环传递函数？什么是系统的闭环传递函数？当给定量和扰动量同时作用于系统时，如何计算系统的输出量？答：开环传递函数定义为主反馈信号与误差信号之比：闭环传递函数定义为输出信号与输入信号之比：当给定量和扰动量同时作用于系统时，通过叠加原理计算系统的输出量。2.5写出图2-36所示RLC电路的微分方程，其中，为输入变量，为输出变量。图2-36题2.5图解：设流过的电流为，流经的电流为，流经的电流为，则：整理得：

2.6写出图2-37所示电路的微分方程，并确定系统的传递函数。其中，为输入变量，为输出变量。图2-37题2.6图解：设流过的电流为，流经的电流为，流经的电流为，则：整理得微分方程为：传递函数为：

2.7求图2-38所示机械运动系统的传递函数、。图2-38题2.7图解：（1）求：由力学定律，有：(2-1)在零初始条件下，对方程组(2-1)进行拉普拉斯变换，得：消去中间变量，得：（2）求：同理可以列出方程组，如式(2-1)所示。消去中间变量，整理得：

2.8试化简图2-39所示结构图，并求出相应的传递函数。图2-39题2.8图解：对其进行等效变换，如下图所示，从而得到传递函数：

2.9试化简图2-40所示结构图，并求出相应的传递函数。图2-40题2.9图解：对其进行等效变换，如下图所示，从而得到传递函数：2.10试求如图2-41所示结构图的传递函数。图2-41题2.10图解：设前为，前为，根据结构图写出线性代数方程组：消除中间变量，得传递函数为：

2.11已知系统结构图如图2-42所示，求传递函数及。图2-42题2.11图解：由系统结构图列出传递函数方程(2-2)(2-3)将（2-3）代入（2-2）得：由（2-3）得：(2-4)将（2-4）代入（2-2）可得：

2.12系统的信号流如图2-43所示，求传递函数。图2-43题2.12图解：图中有3个闭合回路：，，；没有互不接触的回路，所以有从输入节点R到Y，有2条前向通道，前向通道传递函数，，由于与所有闭环回路接触，所以，与不接触，所以代入梅逊公式得传递函数为：

2.13系统的信号流图如图2-44所示，求输出的表达式。图2-44题2.13图解：解：令时图中有6个闭合回路：，，，，，；有互不接触的回路与，与，所以有从输入节点R到Y，有2条前向通道，前向通道传递函数，，由于、与所有闭环回路接触，所以，，代入梅逊公式和传递函数可得：同理可得：

第3章习题参考答案3.1二阶欠阻尼控制系统的动态性能指标主要包括哪些？解动态性能指标主要包括：上升时间、峰值时间、最大超调量及调节时间。3.2典型二阶系统两个特征参数是什么？对系统性能有何影响？解典型二阶系统两个特征参数是阻尼比及无阻尼自然振荡角频率。提高阻尼比可以减小最大超调量，改善系统响应的平稳性；增大阻尼比或无阻尼自振荡角频率都可以减小调节时间。3.3线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？稳定性和哪些因素有关？解线性定常系统稳定的充要条件是：闭环特征方程所有特征根（即闭环传递函数的极点）均位于复平面的左半平面。线性系统的稳定性和系统本身结构、参数有关。3.4稳态误差和哪些因素有关？解系统稳态误差和系统本身结构、参数及输入信号有关。3.5什么是主导极点？主导极点在系统分析中有何作用？解主导极点指的是在高阶系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点，其实部小于其他极点的实部的1/5，并且附近不存在零点，可以认为系统的动态响应主要由主导极点决定。3.6考虑图3-41所示的系统，在单位阶跃函数作用下，试求（1）若，求调节时间；（2）若要求调节时间，求反馈系数K。图3-41题3.6图解由结构图写出闭环传递函数这是一阶系统，时间常数。（1）当，调节时间（2）若要求调节时间，即，则令，得3.7某系统的闭环传递函数为，其中参数T及a均大于零。该系统单位阶跃响应的稳态值是多少？动态过程的调节时间是多少？解此系统在单位阶跃输入下的输出为利用拉普拉斯变换的终值定理，得阶跃输入下的稳态输出为调节时间为3.8设单位负反馈控制系统的开环传递函数为求系统单位阶跃响应的峰值时间、最大超调量和调节时间。解依题，系统闭环传递函数为与标准二阶系统传递函数比较可得：故峰值时间为调节时间为（按5%误差带）或（按2%误差带）最大超调量为3.9典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-42所示，试求其传递函数。图3-42题3.9单位阶跃响应曲线解依题意，系统闭环传递函数形式为由阶跃响应曲线有：联立求解得所以有3.10单位负反馈控制系统的开环传递函数为，试求（1）闭环稳定时参数a的取值范围。（2）闭环系统持续振荡时a值及振荡角频率。（3）闭环系统特征根均位于垂线以左时参数a取值范围。解（1）依题意，系统的闭环特征方程为列出劳斯表：当且时闭环系统稳定，即。（2）当闭环系统持续振荡，意味着系统存在共轭纯虚根，闭环系统处于临界稳定状态。令，求得闭环系统临界稳定。再由行的元素构成辅助方程，得，则振荡频率为。（3）令，代入系统特征方程，得：根据劳斯稳定判据得参数a取值范围为：。3.11闭环系统特征方程如下，试用劳斯稳定判据判定系统的稳定性，并说明特征根在复平面上的分布。（1）（2）（3）（4）解（1）列出劳斯表表中第1列元素符号都为正，由劳斯稳定判据知系统稳定，所有极点均位于左半s平面。（2）列劳斯表劳斯表第1列元素符号改变两次，由劳斯稳定判据可知该系统不稳定，有两个特征根位于复平面的右半平面。（3）列劳斯表劳斯表第1列元素符号改变两次，由劳斯稳定判据可知该系统不稳定，有两个特征根位于复平面的右半平面。（4）方法一：列出劳斯表劳斯表第1列元素符号改变一次，系统有1个正根；由辅助方程可解出系统关于坐标原点对称的根。故该系统不稳定，有1个根位于复平面的右半平面，2个根位于复平面的左半平面，2个根位于虚轴上。方法二：使系统稳定的必要条件为特征方程各项系数均不为零，且具有相同的符号。若不满足上述条件，可以直接判定系统不稳定。3.12已知单位负反馈系统的开环传递函数为（1）（2）（3）（4）试分别求出当输入时，系统的稳态误差。解（1）根据开环传递函数可知，该系统为0型系统，开环增益为10。当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差。（2）根据开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，开环增益为2.5。当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差。（3）根据开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，开环增益为7/8。当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差；当时，系统的稳态误差。（4）根据开环传递函数可知，该系统为Ⅱ型系统，开环增益为8。.当时，系统的稳态误差为；当时，系统的稳态误差为；当时，系统的稳态误差为。3.13单位负反馈控制系统的开环传递函数为（1）求系统的静态位置误差系数，速度误差系数及加速度误差系数。（2）当输入时，求系统的稳态误差。解（1）根据开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，开环增益为10。静态位置误差系数，速度误差系数及加速度误差系数（2）当输入时，系统的稳态误差为3.14考虑图3-43所示的控制系统，已知，求系统总的稳态误差。图3-43题3.14图解系统的开环传递函数为故该系统为Ⅰ型系统，开环增益为。在单位阶跃给定输入下，给定稳态误差为。在单位阶跃扰动输入下，扰动稳态误差为则系统总的稳态误差为：3.15控制系统的结构图如图3-44所示，要求保证系统最大超调量及单位斜坡输入下的稳态误差，试确定系统参数。图3-44题3.15图解由结构图可知，该系统的开环传递函数为闭环传递函数为根据开环传递函数形式，这是Ⅰ型系统，开环增益为。单位斜坡输入下的稳态误差为0.2，即满足系统最大超调量，即要求阻尼比。同时有，联立求解得：。3.16系统结构图如图3-45所示，试求（1）为保证系统稳定，确定参数K的取值范围。（2）为使系统特征根全部位于复平面垂线s=-1的左侧，确定K的取值范围。（3）若输入时，要求系统稳态误差，确定K的取值范围。图3-45题3.16图解（1）系统的闭环特征方程为展开得：列劳斯表由劳斯稳定判据可知，为保证系统稳定，确定参数K的取值范围为：（2）令，代入系统特征方程，得：根据劳斯稳定判据得参数K取值范围为：。（3）由开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，开环增益为K。当输入时，系统稳态误差，则有：而为保证闭环系统稳定，参数K的取值范围为：。综上可得参数K的取值范围是：3.17复合控制系统结构图如图3-46所示，图中均为大于零的常数。试求：（1）闭环系统稳定时，参数应满足的条件。（2）当输入为阶跃函数时，选择校正装置，使得系统不存在稳态误差。图3-46题3.17图解（1）由结构图可得，系统误差传递函数为闭环特征方程为因参数、、、均大于零，已可满足稳定条件。（2）令可得3.18如图3-47所示的闭环控制系统，求当给定输入及扰动信号均为单位斜坡函数时，系统的给定稳态误差及扰动稳态误差。图3-47题3.18图解（1）在参考输入R(s)单独作用下，系统的误差传递函数为则给定稳态误差为（2）在扰动输入D(s)单独作用下，系统误差传递函数为则扰动稳态误差为

第4章习题参考答案4.1什么是根轨迹？绘制根轨迹的依据是什么？解根轨迹指的是当开环传递函数中某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征根（即闭环极点）在复平面上移动的轨迹。绘制根轨迹的依据是幅值条件和相角条件。4.2什么是幅值条件？什么是相角条件？这两个条件在绘制根轨迹中各起什么作用？解幅值条件：相角条件：相角条件是确定s平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件；幅值条件可以用于确定根轨迹上某点所对应的根轨迹增益值。4.3附加开环零点和开环极点对系统根轨迹各有什么影响？解附加开环零点，可以使系统的根轨迹向左弯曲，从而提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能；而且，所增加的开环零点越靠近虚轴，其影响就越大。附加开环极点，使得系统根轨迹向右偏移，降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能；而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种作用就越显著。4.4已知系统的开环零、极点分布如图4-23所示，试概略绘制相应的根轨迹图。(a)(b)(c)(d)(e)(f)图4-23题4.4图解根轨迹草图如下。(a)(b)(c)(d)(e)(f)题解图4.44.5已知单位负反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的系统根轨迹。（1）（2）（3）解（1）系统开环传递函数为1）起点：两个开环极点：,；终点：一个开环零点，一个无限零点。2）实轴上的根轨迹区间：3）分离点计算。整理得解得，。根轨迹如题解图4.5(1)所示。题解图4.5(1)题解图4.5(2)（2）系统开环传递函数为1）起点：三个开环极点：,；终点：三个无限零点。2）实轴上的根轨迹： 3）渐近线：4）分离点计算。整理得解方程可知实轴上不存在分离点。5）根轨迹与虚轴交点。系统特征方程为把代入特征方程，整理并令其实、虚部分别为零得：解得： 6）出射角计算。由相角条件得，。根轨迹如题解图4.5(2)所示。（3）系统开环传递函数为1）起点：三个开环极点：,，；终点：一个开环零点，两个无限零点。2）实轴上的根轨迹：， 3）渐近线倾角及渐近线与实轴的交点。4）分离点计算。解方程可知分离点为：。系统根轨迹如题解图4.5(3)所示。题解图4.5(3)4.6设单位负反馈控制系统的开环传递函数为（1）绘出系统的根轨迹图。（2）确定使系统处于临界稳定时的根轨迹增益和开环放大系数。（3）确定使系统处于临界阻尼状态时的根轨迹增益和开环放大系数。解（1）将系统开环传递函数整理为1）起点：三个开环极点：,,；终点：三个无限零点。2）实轴上的根轨迹区间：,3）渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：4）分离点计算。整理得解得，(舍去)。5）与虚轴的交点。系统特征方程为令，代入系统特征方程，得令求解得。根轨迹与虚轴的交点（0，）。 根轨迹如题解图4.6所示。题解图4.6（2）系统处于临界稳定时的开环放大系数为：，根轨迹增益为：。（3）已求得根轨迹分离点为，根据幅值条件可以求出该分离点对应的根轨迹增益为：；而开环放大系数。4.7考虑图4-24所示的控制系统，试绘制K从0→∞时，闭环系统的根轨迹图，并确定增益K的取值范围以保证系统的稳定性。图4-24题4.7图解由结构图可知，系统开环传递函数为1）起点：四个开环极点：,,，；终点：三个无限零点和一个开环零点。2）实轴上的根轨迹区间：,3）渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：4）根轨迹与虚轴的交点。系统特征方程为把代入特征方程，得整理并令其实、虚部分别为零，得根轨迹与虚轴的交点（0，），临界根轨迹增益为20.8，即参数时闭环系统稳定。根轨迹如题解图4.7所示。题解图4.74.8单位负反馈控制系统的开环传递函数为（1）绘制系统的根轨迹图。（2）试用根轨迹法确定系统稳定时K的取值范围。解1）起点：三个开环极点：,,；终点：两个个无限零点和一个开环零点。2）实轴上的根轨迹区间：,3）渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：4）分离点计算。得解方程，确定分离点为。5）与虚轴的交点。系统特征方程为令，代入系统特征方程，得令解得根轨迹与虚轴的交点为（0，），临界根轨迹增益为6。因此，当时，闭环系统稳定。根轨迹图如题解图4.8所示。题解图4.84.9已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为利用MATLAB绘制系统的根轨迹，并确定K=2时闭环极点的位置。解根轨迹起点是三个开环极点：,,；终点为两个无限零点和一个开环零点。独立渐近线有两条，倾角及与实轴的交点分别为：分离点为,,MATLAB程序：>>num=[10.2];>>den=[13.600];>>rlocus(num,den)根轨迹如题解图4.9所示。K=2时三个闭环极点分别为：。题解图4.9

第5章习题参考答案5.1根据给出的单位负反馈系统的开环传递函数，求在给定信号为时，系统的稳态输出。（1）（2）解：（1）对于开环传递函数，其单位负反馈系统的传递函数为：对于给定信号当时，幅值相位（2）对于开环传递函数，其单位反馈系统的传递函数为：对于给定信号当时，幅值相位系统的稳态输出为：5.2根据开环传递函数，绘制开环奈奎斯特曲线、确定与坐标轴的交点并判断闭环系统稳定性。（1）（2）（3）（4）解：（1）开环传递函数的标准形式：开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，由实部的表达式可知，系统的奈奎斯特曲线不穿过虚轴，即与虚轴没有交点。幅值和相位的表达式为：，时，，；时，，。该系统的奈奎斯特曲线如图5-1所示，奈奎斯特曲线与实轴的交点为和。奈奎斯特曲线不包围点，绕点逆时针旋转圈数，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。题解5.2图（1）的开环奈奎斯特曲线（2）开环传递函数的标准形式：系统的开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，渐近线：幅值和相位的表达式为：，时，，；时，，。实部恒为负，故不与虚轴相交。令虚部，得出与实轴交点处的频率，此时实部为，奈奎斯特曲线与实轴交点为。该系统的奈奎斯特曲线如图5-2所示，奈奎斯特曲线与实轴的交点为。奈奎斯特曲线不包围点，则，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。题解5.2图（2）的开环奈奎斯特曲线（3）开环传递函数的标准形式：系统的开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，由实部的表达式可知，奈奎斯特曲线与虚轴无交点。幅值和相位的表达式为：，时，，；时，，。由实部和虚部可知，只有为无穷大时，奈奎斯特曲线才与实轴和虚轴有交点。奈奎斯特曲线如图5-3所示，曲线绕点顺时针旋转两圈，则，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统不稳定。题解5.2图（3）的开环奈奎斯特曲线（4）开环传递函数的标准形式：系统的开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，由实部的表达式可知，奈奎斯特曲线与虚轴无交点。幅值和相位的表达式为：，时，，；时，，。令，得出，，与实轴的交点为，奈奎斯特曲线如图5-4所示，曲线不包围点，绕点逆时针旋转圈数，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。题解5.2图（4）的开环奈奎斯特曲线5.3根据下述奈奎斯特曲线，写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否稳定，图中为开环传递函数在右半s平面的开环不稳定极点数。（1）（2）（3）（4）图5-57题5.3图解：（1）根据图5-5（1）可知，开环不稳定极点数，绕点逆时针旋转圈数，闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知闭环系统稳定。由于该系统为0型系统，通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，相位逐渐减小。曲线最终又以趋于原点，说明有两个产生负角度（，）的环节。综上可得该系统的相位，进而得出，所以系统的开环传递函数。（2）根据图5-5（2）可知，开环不稳定极点数，绕点逆时针旋转圈数，闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知闭环系统不稳定。由于该系统为II型系统，所以相位的表达式中第一项为，通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，随着的逐渐增大，相位一直减小，曲线最终以趋向于原点。综上可得该系统的相位,进而得出，所以系统的开环传递函数。（3）根据图5-5（3）可知，开环不稳定极点数，绕点逆时针旋转圈数，闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知闭环系统稳定。通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，当时，奈奎斯特曲线并不是趋近于无穷远的，所以没有积分环节。随着的逐渐增大，相位逐渐增大，最终以趋向于原点。综上可得该系统的相位，进而得出，所以系统的开环传递函数。（4）根据图5-5（4）可知，开环不稳定极点数，绕点逆时针旋转圈数，闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知闭环系统稳定。通过分析奈奎斯特曲线的走向可知，当时，奈奎斯特曲线是趋近于无穷远的，所以存在积分环节。随着的逐渐增大，相位一直减小，最终以趋于原点，所以不存在微分环节。综上可得该系统的相位，进而得出，所以系统的开环传递函数。5.4请根据给出的传递函数，画出相应的对数频率特性曲线。（1）（2）（3）（4）解：（1）幅值和相位的表达式为：，为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：当时，开环幅值穿越频率。当从0逐渐增大时，相位从0逐渐减小，当时，，当趋于无穷大时，相位趋于，相应的对数频率特性曲线如图5-6所示。题解5.4图（1）的对数频率特性曲线（2）标准形式：频率特性函数为：幅值和相位的表达式为：，为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：当时，开环幅值穿越频率，当时，。当从0逐渐增大时，相位从逐渐减小，当时，，当趋于无穷大时，趋于，相应的对数频率特性曲线如下所示。题解5.4图（2）的对数频率特性曲线（3）幅值和相位的表达式为：，为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：当时，开环幅值穿越频率，当时，，当时，。当从0逐渐增大时，相位从先逐渐减小，当时，，当时，，当趋于无穷大时，相位趋于，相应的对数频率特性曲线如图5-8所示。题解5.4图（3）的对数频率特性曲线（4）标准形式：幅值和相位的表达式为：，为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：当时，开环幅值穿越频率，当时，，当时，。当从0逐渐增大时，相位从先逐渐减小，再增加。当时，，当时，，当趋于无穷大时，相位趋于，相应的对数频率特性曲线如图5-9所示。题解5.4图（4）的对数频率特性曲线5.5请根据给出的最小相位系统的开环对数幅频特性曲线，写出传递函数并绘出近似的对数相频特性曲线。（1）（2）（3）（4）图5-58题5.5图解：（1）根据图（1）可知式中，；由时，得出，系统的传递函数为：当从0逐渐增大时，相位从逐渐减小，当趋于无穷大时，趋于，相应的对数相频特性曲线如图5-11所示。题解5.5图（1）的对数相频特性曲线（2）根据图5-10（2）可知式中，；根据图5-10（2）可知，，此时，得出，系统的传递函数为：当从0逐渐增大时，相位从先逐渐增大，当时，，当时，，当趋于无穷大时，趋于，相应的对数相频特性曲线如图5-12所示。题解5.5图（2）的对数相频特性曲线（3）根据图5-10（3）可知式中，；由得出，系统的传递函数为：当从0逐渐增大时，相位从先逐渐减小，当时，，当时，，当趋于无穷大时，趋于，相应的对数相频特性曲线如图5-13所示。题解5.5图（3）的对数相频特性曲线（4）根据图5-10（4）可知式中，；；由得出，所以系统的传递函数为：当从0逐渐增大时，相位从逐渐减小，当时，，当时，，当趋于无穷大时，趋于，相应的对数相频特性曲线如图5-14所示。题解5.5图（4）的对数相频特性曲线5.6请根据系统的开环传递函数，绘制系统的开环伯德图，并求解系统的相位裕量及增益裕量，判断系统的稳定性。（1）（2）解：（1）幅值和相位的表达式为：，为了便于绘制伯德图，可以写成如下的形式：当时，，交接频率，。当从0逐渐增大时，相位从逐渐减小，当时，，当时，，当趋于无穷大时，趋于，该系统的伯德图如图5-15所示。题解5.6图（1）的伯德图根据图5-15可知，，令，得开环幅值穿越频率。相位裕量，令，得出，即开环相位穿越频率幅值裕量由上述计算结果可知，相位裕量，幅值裕量，系统不稳定。（2）幅值和相位的表达式为：为了便于绘制伯德图可以写成如下的形式：当时，，交接频率，，。当从0逐渐增大时，相位从先逐渐增大，当时，，当时，，当时，，当趋于无穷大时，趋于，该系统的伯德图如图5-16所示。题解5.6图（2）的伯德图根据图5-16可知，，令，得开环幅值穿越频率，得出相位裕量如下。，令，得出，即开环相位穿越频率幅值裕量由上述计算结果可知，相位裕量，幅值裕量，系统稳定。5.7已知单位负反馈系统的开环传递函数为，计算该闭环系统的谐振频率及谐振峰值。解：对于闭环传递函数：式中，，，即，。得出谐振频率，谐振峰值。5.8根据给出的系统开环传递函数，用MATLAB绘制其奈奎斯特图和伯德图，并求解其幅值裕量和相位裕量。解：对于，其奈奎斯特曲线如图5-17所示，伯德图如图5-18所示。MATLAB程序：>>num=10;>>den=conv([1,0],conv([1,6],conv([1,1],[1,3])));>>sys=tf(num,den);>>nyquist(sys);>>margin(sys);图5-17题5.8的奈奎斯特曲线题解5.8图伯德图该系统的相位穿越频率，幅值裕量，幅值穿越频率，相位裕量。5.9已知一个反馈系统的系统框图，如图5-59所示，请写出其传递函数，并用MATLAB从开环传递函数和闭环传递函数两方面分析其主要的频率特性指标。图5-59题5.9图解：（1）开环频域分析根据图5-59得出系统的开环传递函数为系统的开环伯德图，如下图所示。MATLAB程序：>>num=108.8;>>den=conv([1,3],[1,5,6]);>>sys=tf(num,den);>>margin(sys);题解5.9图的开环伯德图根据图5-20可知，相位穿越频率，幅值裕量，幅值穿越频率，相位裕量，系统稳定。（2）闭环频域分析系统的闭环传递函数系统的闭环伯德图，如图5-21所示。MATLAB程序：>>num=108.8;>>den=[1,8,21,126.8];>>sys=tf(num,den);>>bode(sys);题解5.9图的闭环伯德图根据图5-21可知，闭环对数幅频特性值大概为-3dB时，对应的系统频宽指标，系统的谐振频率，谐振峰值。5.10已知一个反馈系统的系统框图，如图5-22所示，请写出其传递函数，并用MATLAB从开环传递函数和闭环传递函数两方面分析其主要的频率特性指标。图5-60题5.10的系统框图解：（1）开环频域分析根据图5-22得出系统的开环传递函数为，系统的开环伯德图，如图5-23所示。MATLAB程序：>>num=9600*[1,3];>>den=conv([1,0],conv([8,1],[1,20]));>>sys=tf(num,den);>>margin(sys);题解5.10图开环伯德图系统有无穷大的幅值裕量，幅值穿越频率，相位裕量，系统稳定。（2）闭环频域分析系统的闭环传递函数，系统的闭环伯德图，如图5-24所示。MATLAB程序：num=9600*[1,3];den=[8,161,9620,28800];sys=tf(num,den);bode(sys);题解5.10图闭环伯德图根据图5-24可知，闭环对数幅频特性值大概为-3dB时，对应的系统频宽指标，系统的谐振频率，谐振峰值。5.11已知一个单位负反馈系统的开环传递函数为，用频域法判断该系统稳定性。解：标准形式：开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，令，得，，与实轴的交点为。奈奎斯特曲线不包围点，绕点逆时针旋转圈数，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。5.12已知一个控制系统的结构图如下，其中，要求设计PID控制器参数，使得系统在斜坡信号输入下稳态误差为零，穿越频率，相位裕量。解：系统的PID控制器为：校正后的开环传递函数为：校正后的系统为二型系统，对斜坡输入的稳态误差为0。令PID控制器的两个零点重合，即设校正后的开环传递函数为：取穿越频率相位为相位裕量，计算得穿越频率时，取幅值条件，计算得于是展开可得PID参数为验证穿越频率时，相位裕度，满足要求。5.13系统开环传递函数，要求穿越频率，求K值。解：频率特性函数：系统开环传递函数的幅值为当系统的穿越频率此时，，解得。5.14已知多环系统化简后的开环传递函数为判断判断该系统是否为最小相位系统；若，用奈奎斯特判据分析稳定性（已知开环右极点数）。解：(1)所有零极点都在s平面的左半平面，所以该系统是最小相位系统。(2)开环传递函数的标准形式：开环频率特性函数为：实部和虚部表达式为：，奈奎斯特曲线不包围点，绕点逆时针旋转圈数，由于开环传递函数的不稳定极点数，得出闭环不稳定极点数，根据奈奎斯特稳定性判据可知系统稳定。5.15已知系统开环传递函数（含PID）：要求穿越频率，且微分环节提供20°超前相位。求满足上述指标要求的PID控制器参数。解：由穿越频率，要求，即系统的PID控制器为：PI控制器为：由微分环节提供20°超前相位，对比PID控制器和PI控制器：假设PID控制器的零点重合，即PID控制器的分子为，则有：代入计算可得：

第6章习题参考答案6.1简述校正方式的分类及其特点。答：串联校正、反馈校正、前馈校正、复合校正。串联校正：比较简单，易于对信号进行各种形式的变换，一般在前向通道中能量较低的部位，但需注意负载效应的影响。常用的串联校正装置有超前校正、滞后校正和滞后超前校正。反馈校正：信号从高功率点向低功率点传递，一般不需附加放大器，还可以抑制参数波动，非线性因素对系统性能的影响，元件数也往往较少。前馈校正：作用于输入信号：将输入信号作变换，改善系统性能。作用于扰动信号：对扰动信号测量，变换后送入系统，抵消扰动的影响。复合校正：在反馈回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体。6.2在自动控制系统中，为什么需要对系统进行校正？请简述比例-积分-微分（PID）控制器中比例（P）、积分（I）和微分（D）三个部分的作用，并给出一个实际应用场景，说明PID控制器如何改善系统性能。答：(1)系统校正的必要性：提高系统的稳定性、响应速度、减小稳态误差等。(2)PID控制器的作用：比例（P）：提供基本的控制作用，增益越大，响应越快，但过大可能导致系统不稳定。积分（I）：消除稳态误差，提高系统的准确性，但可能引起系统振荡。微分（D）：预测误差的变化趋势，提高系统的稳定性，减少超调。实际应用场景：例如，温度控制系统中，PID控制器可以快速响应温度变化，保持恒温，其中比例部分快速调整，积分部分消除任何稳态误差，微分部分减少温度变化的过冲。6.3已知系统如图6-27所示，设计合理的串联校正装置，使系统满足下列性能指标：闭环系统对斜坡输入的稳态误差为零；开环穿越频率，相位裕量为。图6-27题6.3图解： 被控对象的开环传递函数为题解6.3图 初步结论：，考虑使用PI控制器：令，校正后开环传递函数为设计指标：穿越频率，相位裕量为，故而，PI控制器的传递函数为:6.4已知系统如图6-28所示，，。选PI控制器，即，试整定参数及，使系统的相位裕量不小于45°，同时具有尽可能快的响应速度。